Номер 5, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Два оператора компьютерного набора, работая вместе, могут выполнить набор некоторой книги за 4 дня. Если первый оператор наберёт $\frac{1}{6}$ книги, а затем его заменит второй, то вся книга будет набрана за 7 дней. За сколько дней может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно?

Пусть первый оператор может выполнить всю работу самостоятельно за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность первого оператора составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в день, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ часть работы в день.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполняют всю работу (1) за 4 дня. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 4 = 1$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Согласно второму условию, первый оператор выполняет $\frac{1}{6}$ всей работы. Время, которое он на это затратит, составляет $t_1 = \frac{1/6}{1/x} = \frac{x}{6}$ дней. После этого второй оператор выполняет оставшуюся часть работы, которая равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Время, которое второй оператор на это затратит, составляет $t_2 = \frac{5/6}{1/y} = \frac{5y}{6}$ дней. Общее время, затраченное на выполнение всей работы, составляет 7 дней, то есть $t_1 + t_2 = 7$. Составим второе уравнение:
$\frac{x}{6} + \frac{5y}{6} = 7$
Умножив обе части уравнения на 6, получим:
$x + 5y = 42$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + 5y = 42 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 42 - 5y$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{42 - 5y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y + (42 - 5y)}{y(42 - 5y)} = \frac{1}{4}$
$\frac{42 - 4y}{42y - 5y^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:
$4(42 - 4y) = 1(42y - 5y^2)$
$168 - 16y = 42y - 5y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$5y^2 - 42y - 16y + 168 = 0$
$5y^2 - 58y + 168 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 168 = 3364 - 3360 = 4$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{58 \pm 2}{10}$

Уравнение имеет два корня:
$y_1 = \frac{58 + 2}{10} = \frac{60}{10} = 6$
$y_2 = \frac{58 - 2}{10} = \frac{56}{10} = 5.6$

Поскольку мы получили два возможных значения для $y$, задача имеет два возможных решения. Рассмотрим каждое из них.

Случай 1:
Если второй оператор выполняет работу за $y_1 = 6$ дней, найдем время для первого оператора:
$x_1 = 42 - 5y_1 = 42 - 5 \cdot 6 = 42 - 30 = 12$ дней.
Проверим:
1) Совместная работа: $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Время $1 / (1/4) = 4$ дня. Верно.
2) Последовательная работа: первый работает $\frac{12}{6} = 2$ дня, второй работает $\frac{5 \cdot 6}{6} = 5$ дней. Общее время $2 + 5 = 7$ дней. Верно.
Таким образом, первый оператор может выполнить работу за 12 дней, а второй — за 6 дней.

Случай 2:
Если второй оператор выполняет работу за $y_2 = 5.6$ дней, найдем время для первого оператора:
$x_2 = 42 - 5y_2 = 42 - 5 \cdot 5.6 = 42 - 28 = 14$ дней.
Проверим:
1) Совместная работа: $\frac{1}{14} + \frac{1}{5.6} = \frac{1}{14} + \frac{1}{56/10} = \frac{1}{14} + \frac{10}{56} = \frac{1}{14} + \frac{5}{28} = \frac{2+5}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$. Время $1 / (1/4) = 4$ дня. Верно.
2) Последовательная работа: первый работает $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ дня, второй работает $\frac{5 \cdot 5.6}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ дня. Общее время $\frac{7}{3} + \frac{14}{3} = \frac{21}{3} = 7$ дней. Верно.
Таким образом, первый оператор может выполнить работу за 14 дней, а второй — за 5,6 дня.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Задача имеет два решения. 1) Первый оператор может выполнить работу за 12 дней, а второй — за 6 дней. 2) Первый оператор может выполнить работу за 14 дней, а второй — за 5,6 дня.