Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Докажите неравенство $(x+3)(x-10) < (x-5)(x-2).$

1.

Для того чтобы доказать неравенство $(x+3)(x-10) < (x-5)(x-2)$, необходимо выполнить преобразования обеих его частей.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(x+3)(x-10) = x \cdot x - 10 \cdot x + 3 \cdot x - 3 \cdot 10 = x^2 - 10x + 3x - 30 = x^2 - 7x - 30$

2. Раскроем скобки в правой части неравенства:

$(x-5)(x-2) = x \cdot x - 2 \cdot x - 5 \cdot x + 5 \cdot 2 = x^2 - 2x - 5x + 10 = x^2 - 7x + 10$

3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$x^2 - 7x - 30 < x^2 - 7x + 10$

4. Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$x^2 - 7x - 30 - x^2 + 7x - 10 < 0$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-7x + 7x) + (-30 - 10) < 0$

$0 + 0 - 40 < 0$

$-40 < 0$

В результате преобразований мы получили верное числовое неравенство $-40 < 0$, которое не зависит от значения переменной $x$. Так как все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также является верным для любого действительного числа $x$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно приводится к верному числовому неравенству $-40 < 0$.

2. Известно, что $4 < x < 10$, $5 < y < 8$. Оцените значение выражения:

1) $4x + y$;

2) $xy$;

3) $y - x$.

1) 4x + y;

Для оценки значения выражения $4x + y$ необходимо сначала оценить значение $4x$.
Так как по условию $4 < x < 10$, умножим все части этого неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$4 \cdot 4 < 4 \cdot x < 4 \cdot 10$
$16 < 4x < 40$
Теперь у нас есть два неравенства одинакового смысла:
$16 < 4x < 40$
$5 < y < 8$
Чтобы оценить сумму $4x + y$, мы можем сложить эти неравенства почленно (левую часть с левой, правую — с правой):
$16 + 5 < 4x + y < 40 + 8$
$21 < 4x + y < 48$
Ответ: $21 < 4x + y < 48$.

2) xy;

Даны неравенства $4 < x < 10$ и $5 < y < 8$.
Все части этих неравенств — положительные числа. В этом случае для оценки произведения $xy$ можно почленно перемножить данные неравенства:
$4 \cdot 5 < x \cdot y < 10 \cdot 8$
$20 < xy < 80$
Ответ: $20 < xy < 80$.

3) y - x.

Чтобы оценить разность $y - x$, представим ее в виде суммы $y + (-x)$.
Сначала найдем оценку для $-x$. Для этого умножим все части неравенства $4 < x < 10$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$4 \cdot (-1) > x \cdot (-1) > 10 \cdot (-1)$
$-4 > -x > -10$
Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-10 < -x < -4$
Теперь сложим почленно неравенства для $y$ и $-x$:
$5 < y < 8$
$-10 < -x < -4$
$5 + (-10) < y + (-x) < 8 + (-4)$
$-5 < y - x < 4$
Ответ: $-5 < y - x < 4$.

3. Решите неравенство:

1) $\frac{3}{8}x \leq -\frac{3}{4}$;

2) $7x - 4 > 6(3x - 2)$.

1) Дано неравенство: $\frac{3}{8}x \leq -\frac{3}{4}$.
Чтобы найти $x$, нужно обе части неравенства разделить на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{3}{8}$. Поскольку $\frac{3}{8}$ является положительным числом, знак неравенства при делении не меняется.
$x \leq -\frac{3}{4} : \frac{3}{8}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$x \leq -\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3}$
Выполним умножение и сократим дроби:
$x \leq -\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 3}$
$x \leq -\frac{24}{12}$
$x \leq -2$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, -2]$.
Ответ: $x \leq -2$.

2) Дано неравенство: $7x - 4 > 6(3x - 2)$.
Сначала раскроем скобки в правой части неравенства, умножив 6 на каждый член в скобках:
$7x - 4 > 6 \cdot 3x - 6 \cdot 2$
$7x - 4 > 18x - 12$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.
$7x - 18x > -12 + 4$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-11x > -8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $-11$. Важно помнить, что при делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае знак $>$ изменится на $<$).
$x < \frac{-8}{-11}$
$x < \frac{8}{11}$
Решением является числовой промежуток $(-\infty, \frac{8}{11})$.
Ответ: $x < \frac{8}{11}$.

4. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} 8x - 32 < 0, \\ -3x + 15 > 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 6x - 5 < 13, \\ 28 + 4x > 20. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 8x - 32 < 0, \\ -3x + 15 > 0; \end{cases}$

Для этого решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$8x - 32 < 0$

Перенесем $-32$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$8x < 32$

Разделим обе части на $8$:

$x < \frac{32}{8}$

$x < 4$

Второе неравенство:

$-3x + 15 > 0$

Перенесем $15$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$-3x > -15$

Разделим обе части на $-3$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-15}{-3}$

$x < 5$

Теперь необходимо найти пересечение решений двух неравенств: $x < 4$ и $x < 5$. Решением системы будет множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

$\begin{cases} x < 4, \\ x < 5. \end{cases}$

Если число меньше 4, оно автоматически меньше 5. Следовательно, общее решение — это $x < 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

2) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 6x - 5 < 13, \\ 28 + 4x > 20. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$6x - 5 < 13$

Перенесем $-5$ в правую часть, изменив знак:

$6x < 13 + 5$

$6x < 18$

Разделим обе части на $6$:

$x < \frac{18}{6}$

$x < 3$

Второе неравенство:

$28 + 4x > 20$

Перенесем $28$ в правую часть, изменив знак:

$4x > 20 - 28$

$4x > -8$

Разделим обе части на $4$:

$x > \frac{-8}{4}$

$x > -2$

Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x > -2$.

$\begin{cases} x < 3, \\ x > -2. \end{cases}$

Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше $-2$ и меньше $3$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-2 < x < 3$

Ответ: $x \in (-2; 3)$.

5. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 3}{8} < -4;$

2) $8x + 3 > 5(2x - 3) - 2x.$

1)

Решим неравенство:
$ \frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 3}{8} < -4 $
Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 — это 8. Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ 8 \cdot \frac{2x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{x + 3}{8} < 8 \cdot (-4) $
$ 2(2x - 1) - 1(x + 3) < -32 $
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$ 4x - 2 - x - 3 < -32 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (4x - x) + (-2 - 3) < -32 $
$ 3x - 5 < -32 $
Перенесем число -5 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:
$ 3x < -32 + 5 $
$ 3x < -27 $
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства сохраняется.
$ x < \frac{-27}{3} $
$ x < -9 $
Множество решений неравенства представляет собой интервал от минус бесконечности до -9 (не включая -9).
Ответ: $ (-\infty; -9) $

2)

Решим неравенство:
$ 8x + 3 > 5(2x - 3) - 2x $
Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:
$ 8x + 3 > 10x - 15 - 2x $
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$ 8x + 3 > (10x - 2x) - 15 $
$ 8x + 3 > 8x - 15 $
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную x, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$ 8x - 8x > -15 - 3 $
$ 0 > -18 $
В результате преобразований переменная x сократилась, и мы получили верное числовое неравенство $ 0 > -18 $. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения x.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $

6. Найдите целые решения системы неравенств

$\begin{cases} 4(5x - 4) \ge 13(x - 1) + 18, \\ x(x + 5) - (x - 2)(x + 8) > 9. \end{cases}$

Для нахождения целых решений системы, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство:

$4(5x - 4) \ge 13(x - 1) + 18$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$20x - 16 \ge 13x - 13 + 18$

Упростим правую часть:

$20x - 16 \ge 13x + 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:

$20x - 13x \ge 5 + 16$

$7x \ge 21$

Разделим обе части на 7:

$x \ge 3$

Теперь решим второе неравенство:

$x(x + 5) - (x - 2)(x + 8) > 9$

Раскроем скобки:

$x^2 + 5x - (x^2 + 8x - 2x - 16) > 9$

$x^2 + 5x - (x^2 + 6x - 16) > 9$

Раскроем оставшиеся скобки, учитывая знак минус перед ними:

$x^2 + 5x - x^2 - 6x + 16 > 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x + 16 > 9$

Перенесем 16 в правую часть:

$-x > 9 - 16$

$-x > -7$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 7$

Мы получили систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x < 7 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in [3; 7)$.

Найдем все целые числа, принадлежащие этому промежутку. Это числа, которые больше или равны 3 и строго меньше 7.

Такими числами являются: 3, 4, 5, 6.

Ответ: 3, 4, 5, 6.

7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\sqrt{4x+16} + \frac{1}{\sqrt{6-3x}}$?

Данное выражение имеет смысл, когда оба слагаемых, входящие в его состав, определены. Это накладывает следующие ограничения на переменную $x$:

1. Для слагаемого $\sqrt{4x + 16}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.
Получаем первое неравенство:
$4x + 16 \geq 0$
$4x \geq -16$
$x \geq -4$

2. Для слагаемого $\frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$, подкоренное выражение $6 - 3x$ находится в знаменателе. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (больше нуля).
Получаем второе неравенство:
$6 - 3x > 0$
$-3x > -6$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-6}{-3}$
$x < 2$

Чтобы исходное выражение имело смысл, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Для этого найдем пересечение полученных решений, решив систему неравенств:
$ \begin{cases} x \geq -4 \\ x < 2 \end{cases} $
Это означает, что $x$ должен быть больше или равен -4 и одновременно строго меньше 2.
Решением системы является промежуток $[-4, 2)$.

Ответ: $x \in [-4, 2)$.

8. Докажите неравенство $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$.

Для доказательства неравенства $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.

Сначала сгруппируем члены, содержащие переменную $a$. Выражение $a^2 - 8ab$ является частью квадрата разности. Чтобы получить полный квадрат $(a-4b)^2 = a^2 - 8ab + 16b^2$, представим $17b^2$ как $16b^2 + b^2$:

$a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 = (a^2 - 8ab + 16b^2) + b^2 - 2b + 3$

Теперь первая группа слагаемых сворачивается в квадрат разности:

$(a - 4b)^2 + b^2 - 2b + 3$

Далее, выделим полный квадрат из оставшихся членов, содержащих переменную $b$. Выражение $b^2 - 2b$ является частью квадрата разности $(b-1)^2 = b^2 - 2b + 1$. Для этого представим число $3$ как $1+2$:

$(a - 4b)^2 + (b^2 - 2b + 1) + 2$

Свернем вторую группу слагаемых в полный квадрат:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2 > 0$

Проанализируем полученное выражение. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то:

$(a - 4b)^2 \ge 0$ для любых действительных $a$ и $b$.

$(b - 1)^2 \ge 0$ для любого действительного $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Прибавив к этой сумме положительное число 2, мы получаем выражение, которое всегда будет больше или равно 2:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$

Так как $2 > 0$, то и все выражение $(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$ всегда строго положительно для любых действительных значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как его левая часть тождественно равна выражению $(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$, которое всегда положительно, поскольку является суммой двух неотрицательных слагаемых (квадратов) и положительного числа 2.