Номер 5, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 3}{8} < -4;$

2) $8x + 3 > 5(2x - 3) - 2x.$

1)

Решим неравенство:
$ \frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 3}{8} < -4 $
Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 — это 8. Умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателей. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ 8 \cdot \frac{2x - 1}{4} - 8 \cdot \frac{x + 3}{8} < 8 \cdot (-4) $
$ 2(2x - 1) - 1(x + 3) < -32 $
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$ 4x - 2 - x - 3 < -32 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (4x - x) + (-2 - 3) < -32 $
$ 3x - 5 < -32 $
Перенесем число -5 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:
$ 3x < -32 + 5 $
$ 3x < -27 $
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства сохраняется.
$ x < \frac{-27}{3} $
$ x < -9 $
Множество решений неравенства представляет собой интервал от минус бесконечности до -9 (не включая -9).
Ответ: $ (-\infty; -9) $

2)

Решим неравенство:
$ 8x + 3 > 5(2x - 3) - 2x $
Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:
$ 8x + 3 > 10x - 15 - 2x $
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$ 8x + 3 > (10x - 2x) - 15 $
$ 8x + 3 > 8x - 15 $
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную x, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$ 8x - 8x > -15 - 3 $
$ 0 > -18 $
В результате преобразований переменная x сократилась, и мы получили верное числовое неравенство $ 0 > -18 $. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения x.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $