Номер 3, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) < 0$.

Данная функция $f(x) = x^2 + 4x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола. Для построения графика найдем его ключевые характеристики.

1. Направление ветвей.
Старший коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Для нахождения ординаты подставим $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$ (при $x=0$):
$f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
- С осью $Ox$ (при $f(x)=0$):
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
С помощью теоремы Виета находим корни:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = -5$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости вершину $(-2, -9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, -5)$. Также отметим точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=-2$, — это точка $(-4, -5)$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить параболу.

Теперь, используя график, найдем требуемые значения.

1) область значений данной функции;
Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -9. Все остальные значения функции больше этого числа.
Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток убывания функции;
Функция убывает на том промежутке, где ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на левой ветви параболы, до ее вершины. Абсцисса вершины $x=-2$.
Ответ: $(-\infty; -2]$.

3) множество решений неравенства $f(x) < 0$.
Неравенство $f(x) < 0$ означает, что мы ищем те значения $x$, при которых график функции находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями функции, то есть между точками $x=-5$ и $x=1$.
Ответ: $(-5; 1)$.