Номер 1, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 4x - 21 > 0$;

2) $x^2 - 6x + 11 > 0$;

3) $x^2 > 81$;

4) $x^2 + 14x + 49 > 0$.

1) $x^2 + 4x - 21 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 3$. Неравенство $y > 0$ выполняется на тех промежутках, где график параболы расположен выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (3; \infty)$

2) $x^2 - 6x + 11 > 0$

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 11 = 0$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = x^2 - 6x + 11$ не пересекает ось Ox. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола находится выше оси Ox, и выражение $x^2 - 6x + 11$ принимает положительные значения при любом действительном значении $x$.

Другой способ — выделить полный квадрат:

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) + 2 = (x - 3)^2 + 2$

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). Поэтому $(x - 3)^2 + 2$ всегда больше или равно 2, а значит, всегда строго больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$

3) $x^2 > 81$

Перенесем 81 в левую часть неравенства:

$x^2 - 81 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 9)(x + 9) > 0$

Корнями уравнения $(x-9)(x+9)=0$ являются $x = 9$ и $x = -9$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 9)$ и $(9; \infty)$. Определим знак произведения на каждом интервале методом подстановки:

• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $(-10-9)(-10+9) = (-19)(-1) = 19 > 0$.
• При $-9 < x < 9$ (например, $x=0$): $(0-9)(0+9) = (-9)(9) = -81 < 0$.
• При $x > 9$ (например, $x=10$): $(10-9)(10+9) = (1)(19) = 19 > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где произведение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (9; \infty)$

4) $x^2 + 14x + 49 > 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат суммы, так как $x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x + 7)^2$.

Перепишем неравенство в виде:

$(x + 7)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x + 7)^2 \ge 0$. Нам нужно найти значения $x$, для которых это выражение строго больше нуля. Выражение $(x + 7)^2$ равно нулю только в одном случае:

$x + 7 = 0 \implies x = -7$

Во всех остальных случаях $(x + 7)^2$ будет строго положительным. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = -7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; \infty)$