Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} y = 2x - x^2, \\ 2x + y = 3. \end{cases} $

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Построение графика $y = 2x - x^2$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Для удобства перепишем его в виде $y = -x^2 + 2x$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_v = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y = 2(0) - 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox (при $y=0$): $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Для более точного построения найдем еще несколько точек:
При $x = 3$, $y = 2(3) - 3^2 = 6 - 9 = -3$. Точка $(3, -3)$.
При $x = -1$, $y = 2(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$. Точка $(-1, -3)$.

Построение графика $2x + y = 3$

Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Выразим $y$ для удобства построения: $y = 3 - 2x$.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:
При $x=0$, $y = 3 - 2(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.
При $x=1$, $y = 3 - 2(1) = 1$. Точка $(1, 1)$.

Нахождение решения системы

Построим параболу $y = 2x - x^2$ и прямую $y = 3 - 2x$ в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями системы.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Это точки $(1, 1)$ и $(3, -3)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив координаты этих точек в оба уравнения системы.

Проверка для точки $(1, 1)$:
$1 = 2(1) - 1^2 \implies 1 = 2 - 1 \implies 1 = 1$ (верно).
$2(1) + 1 = 3 \implies 2 + 1 = 3 \implies 3 = 3$ (верно).

Проверка для точки $(3, -3)$:
$-3 = 2(3) - 3^2 \implies -3 = 6 - 9 \implies -3 = -3$ (верно).
$2(3) + (-3) = 3 \implies 6 - 3 = 3 \implies 3 = 3$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(1, 1), (3, -3)$.