Номер 2, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Решите систему уравнений

Для решения данной системы уравнений, состоящей из одного линейного и одного квадратного уравнения, удобно использовать метод подстановки.

$ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ x^2 - xy = 6. \end{cases} $

Из первого, более простого, уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - x(7 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и преобразуем полученное уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x + 2x^2 = 6$

$3x^2 - 7x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

Поскольку дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ необходимо найти соответствующее значение $y$, подставив $x$ в выражение $y = 7 - 2x$.

Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Следовательно, первая пара решений $(x; y)$ это $(3; 1)$.

Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то:

$y_2 = 7 - 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = 7 + \frac{4}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} = \frac{25}{3}$

Следовательно, вторая пара решений $(x; y)$ это $(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3})$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-\frac{2}{3}; \frac{25}{3})$.