Номер 4, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4}$;

2) $f(x) = \sqrt{x} + 4$.

1) $f(x) = \sqrt{x + 4}$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ возьмем за основу график базовой функции $y = \sqrt{x}$. График базовой функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.

График функции вида $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг происходит влево на $a$ единиц.

В нашем случае $a = 4$, что больше нуля, поэтому график функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы влево вдоль оси Ox.

Найдем область определения функции: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Область определения $D(f) = [-4; +\infty)$.

Найдем координаты нескольких точек для более точного построения:

• При $x = -4$, $y = \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• При $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x = 5$, $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5, 3)$.

Таким образом, график функции — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-4, 0)$ и проходящая через вычисленные точки.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс.

2) $f(x) = \sqrt{x} + 4$

Для построения графика функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ также используем в качестве основы график функции $y = \sqrt{x}$.

График функции вида $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг происходит вверх на $b$ единиц.

В нашем случае $b = 4$, что больше нуля, поэтому график функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Найдем область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0} + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} + 4 = 1 + 4 = 5$. Точка $(1, 5)$.
• При $x = 4$, $y = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$. Точка $(4, 6)$.
• При $x = 9$, $y = \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7$. Точка $(9, 7)$.

Таким образом, график функции — это ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 4)$ и проходящая через вычисленные точки.

Ответ: График функции $f(x) = \sqrt{x} + 4$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 4 единицы вверх вдоль оси ординат.