Номер 2, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 6x - 16}$;

2) $f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{8}{x^2 - 9}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 6x - 16}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 16 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = -2$ и $x = 8$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 8.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 8) \cup (8; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{8}{x^2 - 9}$ определяется двумя условиями, которые должны выполняться одновременно:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 9 \ne 0$.
Решим систему этих условий:
$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ x^2 - 9 \ne 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем: $x \ge -4$.
Из второго условия: $x^2 \ne 9$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Теперь объединим эти условия. Мы должны взять все числа, которые больше или равны -4, и исключить из них числа -3 и 3. Оба этих числа входят в промежуток $[-4; +\infty)$.
Таким образом, область определения функции представляет собой объединение промежутков.
Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.