Номер 8, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Докажите неравенство $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$.

Для доказательства неравенства $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты.

Сначала сгруппируем члены, содержащие переменную $a$. Выражение $a^2 - 8ab$ является частью квадрата разности. Чтобы получить полный квадрат $(a-4b)^2 = a^2 - 8ab + 16b^2$, представим $17b^2$ как $16b^2 + b^2$:

$a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 = (a^2 - 8ab + 16b^2) + b^2 - 2b + 3$

Теперь первая группа слагаемых сворачивается в квадрат разности:

$(a - 4b)^2 + b^2 - 2b + 3$

Далее, выделим полный квадрат из оставшихся членов, содержащих переменную $b$. Выражение $b^2 - 2b$ является частью квадрата разности $(b-1)^2 = b^2 - 2b + 1$. Для этого представим число $3$ как $1+2$:

$(a - 4b)^2 + (b^2 - 2b + 1) + 2$

Свернем вторую группу слагаемых в полный квадрат:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2 > 0$

Проанализируем полученное выражение. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то:

$(a - 4b)^2 \ge 0$ для любых действительных $a$ и $b$.

$(b - 1)^2 \ge 0$ для любого действительного $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Прибавив к этой сумме положительное число 2, мы получаем выражение, которое всегда будет больше или равно 2:

$(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$

Так как $2 > 0$, то и все выражение $(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$ всегда строго положительно для любых действительных значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как его левая часть тождественно равна выражению $(a - 4b)^2 + (b - 1)^2 + 2$, которое всегда положительно, поскольку является суммой двух неотрицательных слагаемых (квадратов) и положительного числа 2.