Номер 2, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Известно, что $4 < x < 10$, $5 < y < 8$. Оцените значение выражения:

1) $4x + y$;

2) $xy$;

3) $y - x$.

1) 4x + y;

Для оценки значения выражения $4x + y$ необходимо сначала оценить значение $4x$.
Так как по условию $4 < x < 10$, умножим все части этого неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$4 \cdot 4 < 4 \cdot x < 4 \cdot 10$
$16 < 4x < 40$
Теперь у нас есть два неравенства одинакового смысла:
$16 < 4x < 40$
$5 < y < 8$
Чтобы оценить сумму $4x + y$, мы можем сложить эти неравенства почленно (левую часть с левой, правую — с правой):
$16 + 5 < 4x + y < 40 + 8$
$21 < 4x + y < 48$
Ответ: $21 < 4x + y < 48$.

2) xy;

Даны неравенства $4 < x < 10$ и $5 < y < 8$.
Все части этих неравенств — положительные числа. В этом случае для оценки произведения $xy$ можно почленно перемножить данные неравенства:
$4 \cdot 5 < x \cdot y < 10 \cdot 8$
$20 < xy < 80$
Ответ: $20 < xy < 80$.

3) y - x.

Чтобы оценить разность $y - x$, представим ее в виде суммы $y + (-x)$.
Сначала найдем оценку для $-x$. Для этого умножим все части неравенства $4 < x < 10$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$4 \cdot (-1) > x \cdot (-1) > 10 \cdot (-1)$
$-4 > -x > -10$
Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-10 < -x < -4$
Теперь сложим почленно неравенства для $y$ и $-x$:
$5 < y < 8$
$-10 < -x < -4$
$5 + (-10) < y + (-x) < 8 + (-4)$
$-5 < y - x < 4$
Ответ: $-5 < y - x < 4$.