Номер 3, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7. \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения

Из первого (линейного) уравнения $x - y = 3$ выразим переменную $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение

Теперь подставим $x = y + 3$ во второе уравнение системы $x^2 - xy - 2y^2 = 7$ и решим полученное уравнение относительно $y$:

$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$

Раскроем скобки:

$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$

Приведём подобные слагаемые:

$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 = 7$

$-2y^2 + 3y + 9 = 7$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$-2y^2 + 3y + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства последующих вычислений:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение

Найдём корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$

Теперь найдём соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя ранее полученное выражение $x = y + 3$.

Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 2 + 3 = 5$

Первое решение системы: $(5; 2)$.

Для $y_2 = -\frac{1}{2}$:

$x_2 = -\frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{5}{2}$

Второе решение системы: $(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(5; 2)$, $(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$.