Номер 5, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Двое рабочих могут вместе выполнить некоторое задание за 4 дня. Если треть задания выполнит первый рабочий, а затем его заменит второй, то всё задание будет выполнено за 10 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них самостоятельно?

Пусть $x$ – количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всё задание самостоятельно, а $y$ – количество дней, за которое это же задание может выполнить второй рабочий.

Тогда производительность (скорость выполнения работы) первого рабочего составляет $1/x$ задания в день, а производительность второго – $1/y$ задания в день.

Из первого условия, что двое рабочих вместе могут выполнить задание за 4 дня, следует, что их совместная производительность равна $1/4$ задания в день. Это дает нам первое уравнение:

$1/x + 1/y = 1/4$

Из второго условия, если первый рабочий выполнит треть задания, а затем второй выполнит оставшуюся часть, то на всю работу уйдет 10 дней.

Время, которое потребуется первому рабочему на выполнение $1/3$ задания, составляет: $t_1 = \frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = x/3$ дней.

Оставшаяся часть задания равна $1 - 1/3 = 2/3$.

Время, которое потребуется второму рабочему на выполнение этой части, составляет: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = 2y/3$ дней.

Общее время выполнения задания равно 10 дней, что дает нам второе уравнение:

$t_1 + t_2 = x/3 + 2y/3 = 10$

Умножим обе части этого уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$x + 2y = 30$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 1/x + 1/y = 1/4 \\ x + 2y = 30 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 30 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$1/(30 - 2y) + 1/y = 1/4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(30 - 2y)$:

$\frac{y + (30 - 2y)}{y(30 - 2y)} = 1/4$

$\frac{30 - y}{30y - 2y^2} = 1/4$

Воспользуемся правилом пропорции ("крест-накрест"):

$4(30 - y) = 1 \cdot (30y - 2y^2)$

$120 - 4y = 30y - 2y^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 30y - 4y + 120 = 0$

$2y^2 - 34y + 120 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$y^2 - 17y + 60 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 17, а их произведение равно 60. Подбором находим корни:

$y_1 = 5$ и $y_2 = 12$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая, используя выражение $x = 30 - 2y$.

Случай 1. Если $y = 5$ (второй рабочий выполняет работу за 5 дней):

$x = 30 - 2(5) = 30 - 10 = 20$.

В этом случае первый рабочий выполняет работу за 20 дней.

Случай 2. Если $y = 12$ (второй рабочий выполняет работу за 12 дней):

$x = 30 - 2(12) = 30 - 24 = 6$.

В этом случае первый рабочий выполняет работу за 6 дней.

Оба варианта полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: Существует два возможных решения: первый рабочий может выполнить задание за 6 дней, а второй за 12 дней; либо первый рабочий может выполнить задание за 20 дней, а второй за 5 дней.