Номер 6, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + (a + 5)x + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение $x^2 + (a + 5)x + 1 = 0$ является квадратным уравнением общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант ($D$) должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$A = 1$

$B = a + 5$

$C = 1$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (a + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (a + 5)^2 - 4$.

Теперь решим неравенство $D > 0$ относительно переменной $a$:

$(a + 5)^2 - 4 > 0$.

Это неравенство можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$((a + 5) - 2)((a + 5) + 2) > 0$

$(a + 3)(a + 7) > 0$.

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(a + 3)(a + 7) = 0$. Корнями являются $a = -3$ и $a = -7$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; -3)$ и $(-3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(a + 3)(a + 7)$ на каждом из интервалов:

1. На интервале $(-\infty; -7)$, например, при $a = -8$: $(-8 + 3)(-8 + 7) = (-5)(-1) = 5$. Так как $5 > 0$, этот интервал является частью решения.

2. На интервале $(-7; -3)$, например, при $a = -5$: $(-5 + 3)(-5 + 7) = (-2)(2) = -4$. Так как $-4 < 0$, этот интервал не является частью решения.

3. На интервале $(-3; +\infty)$, например, при $a = 0$: $(0 + 3)(0 + 7) = (3)(7) = 21$. Так как $21 > 0$, этот интервал является частью решения.

Таким образом, неравенство выполняется, когда $a$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -7)$ и $(-3; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$.