Номер 2, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Постройте график функции $y = 5 + 4x - x^2$. Пользуясь графиком, найдите:

1) промежуток возрастания функции;

2) множество решений неравенства $5 + 4x - x^2 \ge 0$.

Для построения графика функции $y = 5 + 4x - x^2$ выполним следующие шаги:

1. Определим вид графика. Данная функция является квадратичной ($y = ax^2 + bx + c$), ее график — парабола. Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 4x + 5$. Так как коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$, что меньше нуля ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

   Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

   Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v=2$.

   $y_v = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

   С осью OY (осью ординат): для этого подставим $x=0$ в уравнение функции.

   $y(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5$.

   Точка пересечения с осью OY: $(0, 5)$.

   С осью OX (осью абсцисс): для этого приравняем функцию к нулю, $y=0$.

   $-x^2 + 4x + 5 = 0$.

   Умножим обе части на -1 для удобства: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

   Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. $\sqrt{D} = 6$.

   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

   Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Используя найденные ключевые точки (вершина $(2, 9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, 5)$), строим параболу с ветвями, направленными вниз.

Теперь, пользуясь построенным графиком, ответим на вопросы.

1) промежуток возрастания функции;

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх при движении слева направо. Для параболы с ветвями вниз это происходит на луче левее ее вершины. Вершина параболы имеет абсциссу $x = 2$. Следовательно, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до $2$ включительно.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

2) множество решений неравенства 5 + 4x - x² ≥ 0.

Решить неравенство $5 + 4x - x^2 \ge 0$ означает найти все значения $x$, при которых график функции $y = 5 + 4x - x^2$ находится на оси OX или выше нее ($y \ge 0$). Из графика видно, что это происходит на отрезке между точками пересечения с осью OX. Точки пересечения с осью OX (нули функции) — это $x = -1$ и $x = 5$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции неотрицательны между этими корнями, включая сами корни.

Ответ: $[-1; 5]$.