Номер 3, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{4x-x^2}$;

2) $y=\frac{8}{\sqrt{12+x-x^2}}$.

1) $y = \sqrt{4x - x^2}$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство:

$4x - x^2 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - x) \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем нули выражения $x(4 - x)$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $f(x) = 4x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции — это отрезок $[0; 4]$.

Ответ: $[0; 4]$.

2) $y = \frac{8}{\sqrt{12 + x - x^2}}$

Область определения данной функции определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным:

$12 + x - x^2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -12. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-3; 4)$, что и является областью определения исходной функции.

Ответ: $(-3; 4)$.