Номер 6, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 16 км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого из них, если велосипедист потратил на весь путь на 2 ч 40 мин меньше, чем пешеход.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Поскольку пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_п + v_в$. За 1 час до встречи они вместе преодолели всё расстояние $S=16$ км. Отсюда можно составить первое уравнение:

$(v_п + v_в) \cdot 1 = 16$

$v_п + v_в = 16$

Время, которое требуется пешеходу, чтобы пройти весь путь в 16 км, равно $t_п = \frac{16}{v_п}$. Время, которое требуется велосипедисту, равно $t_в = \frac{16}{v_в}$.

Разница во времени составляет 2 часа 40 минут. Переведём это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ часа. По условию, время пешехода больше времени велосипедиста, поэтому можем составить второе уравнение:

$t_п - t_в = \frac{8}{3}$

$\frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_п + v_в = 16 \\ \frac{16}{v_п} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_п$: $v_п = 16 - v_в$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{16}{16 - v_в} - \frac{16}{v_в} = \frac{8}{3}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 8:

$\frac{2}{16 - v_в} - \frac{2}{v_в} = \frac{1}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_в(16 - v_в)$:

$\frac{2v_в - 2(16 - v_в)}{v_в(16 - v_в)} = \frac{1}{3}$

$\frac{2v_в - 32 + 2v_в}{16v_в - v_в^2} = \frac{1}{3}$

$\frac{4v_в - 32}{16v_в - v_в^2} = \frac{1}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(4v_в - 32) = 1(16v_в - v_в^2)$

$12v_в - 96 = 16v_в - v_в^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_в^2 + 12v_в - 16v_в - 96 = 0$

$v_в^2 - 4v_в - 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Найдём корни уравнения:

$v_{в1} = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = 12$

$v_{в2} = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = -8$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень $v_в = 12$. Таким образом, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдём скорость пешехода, используя первое уравнение:

$v_п = 16 - v_в = 16 - 12 = 4$

Скорость пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.