Номер 3, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{7x - x^2}$;

2) $y = \frac{9}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$.

1) $y = \sqrt{7x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$7x - x^2 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x - x^2 = 0$. Вынесем $x$ за скобки:

$x(7 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $f(x) = 7x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, областью определения функции является промежуток $[0, 7]$.

Ответ: $[0, 7]$

2) $y = \frac{9}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$

Для данной функции выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а так как корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$15 - 2x - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим его знак, чтобы получить положительный старший коэффициент:

$x^2 + 2x - 15 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15$, приравняв его к нулю:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.

Так как графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1), она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, областью определения функции является промежуток $(-5, 3)$.

Ответ: $(-5, 3)$