Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. В течение года завод дважды увеличивал еженедельный выпуск продукции на одно и то же количество процентов. На сколько процентов увеличивался каждый раз выпуск продукции, если в начале года завод выпускал 1200 изделий в неделю, а в конце года — 1587 изделий?

Обозначим начальный еженедельный выпуск продукции как $V_0$, а искомое количество процентов, на которое увеличивался выпуск, как $p$.

По условию задачи:
Начальный выпуск $V_0 = 1200$ изделий.
Конечный выпуск $V_k = 1587$ изделий.

Увеличение на $p$ процентов эквивалентно умножению на коэффициент $k = (1 + \frac{p}{100})$.

Поскольку выпуск увеличивался дважды на одно и то же число процентов, мы можем составить следующее уравнение. После первого увеличения выпуск составит:
$V_1 = V_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

После второго такого же увеличения конечный выпуск составит:
$V_k = V_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = \left(V_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = V_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Подставим в уравнение известные значения $V_0$ и $V_k$:
$1587 = 1200 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Найдем квадрат коэффициента увеличения:
$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{1587}{1200}$

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $1+5+8+7=21$, и сумма цифр знаменателя $1+2+0+0=3$. Оба числа делятся на 3.
$\frac{1587 \div 3}{1200 \div 3} = \frac{529}{400}$

Теперь уравнение имеет вид:
$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{529}{400}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти сам коэффициент:
$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{529}{400}} = \frac{\sqrt{529}}{\sqrt{400}}$

Поскольку $\sqrt{529} = 23$ и $\sqrt{400} = 20$, получаем:
$1 + \frac{p}{100} = \frac{23}{20}$

Преобразуем дробь в десятичное число:
$\frac{23}{20} = 1.15$

Теперь можем найти $p$:
$1 + \frac{p}{100} = 1.15$
$\frac{p}{100} = 1.15 - 1$
$\frac{p}{100} = 0.15$
$p = 0.15 \cdot 100 = 15$

Следовательно, каждый раз выпуск продукции увеличивался на 15%.

Ответ: 15%.

1200 изделий в неделю, а в конце года — 1587 изделий?

152. Сколько надо смешать молока с процентным содержанием жира 1 % и молока с процентным содержанием жира 3,5 %, чтобы получить 8 л молока с массовой частью жира 2,5 %?

Это задача на смеси, которую удобно решать с помощью системы уравнений. Обозначим за $x$ количество литров молока с жирностью 1%, а за $y$ — количество литров молока с жирностью 3,5%.

Согласно условию, общий объем смеси должен составлять 8 литров. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 8$

Теперь составим уравнение на основе количества жира. Масса (или объем, так как плотность молока примерно одинакова) жира в первом виде молока составляет $1\%$ от его объема, то есть $0,01x$. Во втором виде молока жира содержится $3,5\%$, то есть $0,035y$.

В итоговой 8-литровой смеси массовая доля жира должна составлять $2,5\%$. Общее количество жира в смеси будет равно $8 \cdot 0,025 = 0,2$ литра. Сумма жира из двух исходных компонентов должна быть равна количеству жира в конечной смеси. Это дает нам второе уравнение:

$0,01x + 0,035y = 0,2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ 0,01x + 0,035y = 0,2 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 8 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$0,01(8 - y) + 0,035y = 0,2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$0,08 - 0,01y + 0,035y = 0,2$

Приведем подобные члены:

$0,025y = 0,2 - 0,08$

$0,025y = 0,12$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{0,12}{0,025} = \frac{120}{25} = 4,8$

Итак, нам нужно 4,8 литра молока с жирностью 3,5%.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 8 - 4,8 = 3,2$

Следовательно, нам нужно 3,2 литра молока с жирностью 1%.

Ответ: необходимо смешать 3,2 л молока с 1% содержанием жира и 4,8 л молока с 3,5% содержанием жира.

153. Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500 000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год процентная ставка была уменьшена на 2 %. В конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Обозначим искомый процент годовых в первый год как $p$. Тогда процентный множитель в первый год равен $(1 + \frac{p}{100})$.

Сумма кредита составляет 500 000 рублей. Через год сумма долга с учетом начисленных процентов составит:
$S_1 = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

На второй год процентная ставка была уменьшена на 2 %, то есть стала равна $(p - 2)\%$. Процентный множитель для второго года будет $(1 + \frac{p-2}{100})$. Проценты за второй год начисляются на сумму долга в конце первого года ($S_1$).

Следовательно, итоговая сумма долга в конце второго года составит:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p-2}{100}) = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$

По условию задачи, в конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 рублей. Составим уравнение:
$708000 = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$

Разделим обе части уравнения на 500 000:
$\frac{708000}{500000} = (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$
$1,416 = (\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{100+p-2}{100})$
$1,416 = \frac{(100+p)(98+p)}{10000}$

Умножим обе части на 10000 и раскроем скобки:
$14160 = (100+p)(98+p)$
$14160 = 9800 + 100p + 98p + p^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ap^2+bp+c=0$:
$p^2 + 198p + 9800 - 14160 = 0$
$p^2 + 198p - 4360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 198^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4360) = 39204 + 17440 = 56644$
$\sqrt{D} = \sqrt{56644} = 238$

Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-198 + 238}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-198 - 238}{2} = \frac{-436}{2} = -218$

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, корень $p_2 = -218$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, процентная ставка в первый год составляла 20%.

Ответ: 20%.

154. Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была меньше 20 %. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть $M$ (кг) — первоначальная масса водно-солевого раствора.

Изначально в растворе содержалось 3 кг соли. Следовательно, первоначальная концентрация соли $C_1$ в растворе составляет:

$C_1 = \frac{3}{M}$

По условию задачи, эта концентрация была меньше 20%, то есть:

$C_1 < 0.2 \implies \frac{3}{M} < 0.2 \implies 3 < 0.2M \implies M > \frac{3}{0.2} \implies M > 15$ кг.

К этому раствору добавили 6 кг соли. Масса соли в новом растворе стала $3 + 6 = 9$ кг, а масса самого раствора стала $M + 6$ кг.

Новая концентрация соли $C_2$ в растворе равна:

$C_2 = \frac{9}{M+6}$

По условию, концентрация соли увеличилась на 15%, что означает, что новая концентрация стала на 0.15 больше первоначальной:

$C_2 = C_1 + 0.15$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\frac{9}{M+6} = \frac{3}{M} + 0.15$

Для решения этого уравнения приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю и преобразуем уравнение. Умножим обе части уравнения на $20M(M+6)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $M \neq 0$ и $M \neq -6$, что выполняется, так как масса не может быть отрицательной или нулевой):

$\frac{9}{M+6} = \frac{3}{M} + \frac{15}{100} = \frac{3}{M} + \frac{3}{20}$

$\frac{9}{M+6} = \frac{3 \cdot 20 + 3 \cdot M}{20M}$

$\frac{9}{M+6} = \frac{60+3M}{20M}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$9 \cdot 20M = (M+6)(60+3M)$

$180M = 60M + 3M^2 + 360 + 18M$

$180M = 3M^2 + 78M + 360$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3M^2 + 78M - 180M + 360 = 0$

$3M^2 - 102M + 360 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$M^2 - 34M + 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:

$M_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{34+26}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$M_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{34-26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

У нас есть два возможных решения для первоначальной массы раствора: 30 кг и 4 кг. Теперь необходимо проверить их на соответствие условию, что первоначальная концентрация была меньше 20% ($M > 15$ кг).

1. Если $M = 30$ кг, то первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{30} = 0.1$, что равно 10%. Это значение меньше 20%, значит, корень $M=30$ подходит.

2. Если $M = 4$ кг, то первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{4} = 0.75$, что равно 75%. Это значение больше 20%, следовательно, корень $M=4$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственным верным решением является $M=30$ кг.

Ответ: 30 кг.

155. Известно, что $x = 17,2 \pm 0,4$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$:

1) 17,8; 2) 17,7; 3) 16,7; 4) 16,8?

Выражение $x = 17,2 \pm 0,4$ означает, что точное значение $x$ находится в интервале, который можно описать двойным неравенством:

$17,2 - 0,4 \le x \le 17,2 + 0,4$

Сначала вычислим левую и правую границы этого интервала.

Нижняя граница: $17,2 - 0,4 = 16,8$.

Верхняя граница: $17,2 + 0,4 = 17,6$.

Таким образом, точное значение $x$ должно находиться в промежутке $[16,8; 17,6]$.

Теперь проверим, какое из предложенных в вариантах ответов чисел принадлежит этому промежутку.

1) 17,8: это число не принадлежит промежутку $[16,8; 17,6]$, так как $17,8 > 17,6$.

2) 17,7: это число не принадлежит промежутку $[16,8; 17,6]$, так как $17,7 > 17,6$.

3) 16,7: это число не принадлежит промежутку $[16,8; 17,6]$, так как $16,7 < 16,8$.

4) 16,8: это число принадлежит промежутку $[16,8; 17,6]$, так как оно является его левой границей ($16,8 \le 16,8 \le 17,6$).

Следовательно, единственное число из предложенных, которое может быть точным значением $x$, это 16,8.

Ответ: 4) 16,8

156. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $\frac{1}{9}$ числом:

1) 0,11; 2) 0,12; 3) 0,111.

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и его приближенным значением. Формула для вычисления абсолютной погрешности: $ \Delta = |x - a| $, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближенное значение.

В данном случае точное значение $x = \frac{1}{9}$. Переведем эту дробь в десятичную, чтобы упростить вычисления: $ \frac{1}{9} = 1 : 9 = 0,1111... = 0,(1) $.

1) 0,11

Найдем абсолютную погрешность для приближенного значения $ a = 0,11 $.

$ \Delta = |\frac{1}{9} - 0,11| = |\frac{1}{9} - \frac{11}{100}| $

Приведем дроби к общему знаменателю 900:

$ \Delta = |\frac{1 \cdot 100}{9 \cdot 100} - \frac{11 \cdot 9}{100 \cdot 9}| = |\frac{100}{900} - \frac{99}{900}| = |\frac{1}{900}| = \frac{1}{900} $

Также можно выполнить вычитание в десятичных дробях:

$ \Delta = |0,111... - 0,11| = |0,00111...| = 0,00(1) = \frac{1}{900} $

Ответ: $ \frac{1}{900} $

2) 0,12

Найдем абсолютную погрешность для приближенного значения $ a = 0,12 $.

$ \Delta = |\frac{1}{9} - 0,12| = |\frac{1}{9} - \frac{12}{100}| $

Приведем дроби к общему знаменателю 900:

$ \Delta = |\frac{1 \cdot 100}{9 \cdot 100} - \frac{12 \cdot 9}{100 \cdot 9}| = |\frac{100}{900} - \frac{108}{900}| = |-\frac{8}{900}| = \frac{8}{900} = \frac{2}{225} $

В десятичных дробях:

$ \Delta = |0,111... - 0,12| = |-0,00888...| = 0,00(8) = \frac{8}{900} = \frac{2}{225} $

Ответ: $ \frac{2}{225} $

3) 0,111

Найдем абсолютную погрешность для приближенного значения $ a = 0,111 $.

$ \Delta = |\frac{1}{9} - 0,111| = |\frac{1}{9} - \frac{111}{1000}| $

Приведем дроби к общему знаменателю 9000:

$ \Delta = |\frac{1 \cdot 1000}{9 \cdot 1000} - \frac{111 \cdot 9}{1000 \cdot 9}| = |\frac{1000}{9000} - \frac{999}{9000}| = |\frac{1}{9000}| = \frac{1}{9000} $

В десятичных дробях:

$ \Delta = |0,1111... - 0,111| = |0,000111...| = 0,000(1) = \frac{1}{9000} $

Ответ: $ \frac{1}{9000} $

157. В справочнике указано, что плотность свинца равна $11,3 \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности свинца?

Приближенное значение плотности свинца дано как 11,3 г/см³. Запись этого числа означает, что оно было округлено до десятых, так как последняя значащая цифра (3) находится в разряде десятых.

Точность приближенного значения определяется как наибольшая возможная абсолютная погрешность, которая возникает при округлении. По правилу округления, абсолютная погрешность не превышает половины единицы того разряда, до которого производилось округление.

В данном случае наименьший разряд — десятые, а единица этого разряда равна 0,1. Найдем половину этой единицы, чтобы определить точность:

$\frac{0,1}{2} = 0,05$

Это означает, что истинное значение плотности свинца $\rho$ отличается от 11,3 г/см³ не более чем на 0,05 г/см³, то есть оно лежит в интервале $11,25 \le \rho < 11,35$.

Следовательно, точность, с которой указано приближенное значение плотности свинца, составляет 0,05 г/см³.

Ответ: 0,05 г/см³.

158. В справочнике указано, что плотность хлора равна $3.214 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности хлора?

Приближённое значение плотности хлора дано в стандартном виде: $\rho = 3,214 \cdot 10^{-3}$ г/см³.

Точность приближенного значения, записанного в стандартном виде, определяется по последней значащей цифре его мантиссы. В данном случае мантисса равна $3,214$.

Последняя значащая цифра (4) находится в разряде тысячных. Это означает, что точность мантиссы составляет $0,001$, или $10^{-3}$.

Чтобы найти точность всего значения, необходимо умножить точность мантиссы на множитель, соответствующий порядку числа:

Точность $= 0,001 \cdot 10^{-3} = 10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-6}$ г/см³.

Также можно записать данное значение в виде десятичной дроби:

$3,214 \cdot 10^{-3} = 0,003214$ г/см³.

В этой записи последняя значащая цифра 4 находится на шестом месте после запятой, что соответствует разряду миллионных. Следовательно, значение указано с точностью до $0,000001$ г/см³, или $10^{-6}$ г/см³.

Ответ: $10^{-6}$ г/см³.

159. В справочнике указано, что масса атома водорода равна $1,67 \cdot 10^{-27}$ кг. Найдите относительную погрешность этого приближения.

Относительная погрешность приближения $(\delta)$ — это отношение абсолютной погрешности $(\Delta)$ к модулю самого приближенного значения $(a)$.

Формула для вычисления относительной погрешности:
$\delta = \frac{\Delta}{|a|}$

В задаче дано приближенное значение массы атома водорода: $a = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг.

Абсолютную погрешность $\Delta$ определяем из точности данного числа. Число $1.67$ записано с двумя знаками после запятой, то есть с точностью до сотых. По правилам округления, абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда, до которого выполнено округление.

Таким образом, абсолютная погрешность для мантиссы $1.67$ не превышает:
$\frac{0.01}{2} = 0.005$

Следовательно, для всего значения массы абсолютная погрешность составляет:
$\Delta \le 0.005 \cdot 10^{-27}$ кг.

Теперь можем найти относительную погрешность, подставив значения в формулу. Мы найдем ее верхнюю границу:
$\delta \le \frac{0.005 \cdot 10^{-27}}{|1.67 \cdot 10^{-27}|} = \frac{0.005}{1.67}$

Выполним вычисление:
$\frac{0.005}{1.67} = \frac{5}{1670} = \frac{1}{334} \approx 0.002994$

Обычно относительную погрешность выражают в процентах. Для этого умножим полученное значение на $100\%$:
$0.002994 \cdot 100\% \approx 0.2994\% \approx 0.3\%$

Ответ: $\frac{1}{334} \approx 0.003$ (или $0.3\%$).