Номер 151, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. В течение года завод дважды увеличивал еженедельный выпуск продукции на одно и то же количество процентов. На сколько процентов увеличивался каждый раз выпуск продукции, если в начале года завод выпускал 1200 изделий в неделю, а в конце года — 1587 изделий?

Обозначим начальный еженедельный выпуск продукции как $V_0$, а искомое количество процентов, на которое увеличивался выпуск, как $p$.

По условию задачи:
Начальный выпуск $V_0 = 1200$ изделий.
Конечный выпуск $V_k = 1587$ изделий.

Увеличение на $p$ процентов эквивалентно умножению на коэффициент $k = (1 + \frac{p}{100})$.

Поскольку выпуск увеличивался дважды на одно и то же число процентов, мы можем составить следующее уравнение. После первого увеличения выпуск составит:
$V_1 = V_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

После второго такого же увеличения конечный выпуск составит:
$V_k = V_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = \left(V_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = V_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Подставим в уравнение известные значения $V_0$ и $V_k$:
$1587 = 1200 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Найдем квадрат коэффициента увеличения:
$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{1587}{1200}$

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $1+5+8+7=21$, и сумма цифр знаменателя $1+2+0+0=3$. Оба числа делятся на 3.
$\frac{1587 \div 3}{1200 \div 3} = \frac{529}{400}$

Теперь уравнение имеет вид:
$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{529}{400}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти сам коэффициент:
$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{529}{400}} = \frac{\sqrt{529}}{\sqrt{400}}$

Поскольку $\sqrt{529} = 23$ и $\sqrt{400} = 20$, получаем:
$1 + \frac{p}{100} = \frac{23}{20}$

Преобразуем дробь в десятичное число:
$\frac{23}{20} = 1.15$

Теперь можем найти $p$:
$1 + \frac{p}{100} = 1.15$
$\frac{p}{100} = 1.15 - 1$
$\frac{p}{100} = 0.15$
$p = 0.15 \cdot 100 = 15$

Следовательно, каждый раз выпуск продукции увеличивался на 15%.

Ответ: 15%.