Номер 147, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. От станций $C$ и $D$, расстояние между которыми равно 270 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд прибыл на станцию $D$ через 2 ч 24 мин после встречи, а второй на станцию $C$ — через 3 ч 45 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый поезд и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, а $t$ — время от начала движения до их встречи. Общее расстояние между станциями C и D составляет $S = 270$ км.

До момента встречи первый поезд, вышедший из пункта C, проехал расстояние $S_1 = v_1 t$. Второй поезд, вышедший из пункта D, проехал расстояние $S_2 = v_2 t$. В сумме они преодолели все расстояние между станциями:

$S_1 + S_2 = S \implies v_1 t + v_2 t = 270$

После встречи первый поезд должен был проехать оставшееся расстояние $S_2$, а второй поезд — расстояние $S_1$.

По условию, первый поезд прибыл в D через $t_1 = 2$ ч 24 мин после встречи, а второй в C — через $t_2 = 3$ ч 45 мин после встречи. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$t_1 = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{5} \text{ ч} = 2.4$ ч.

$t_2 = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75$ ч.

Теперь мы можем составить систему уравнений, связывающую расстояния, скорости и время:

1. Расстояние, которое проехал первый поезд до встречи: $S_1 = v_1 t$. Это же расстояние второй поезд проехал после встречи: $S_1 = v_2 t_2$.
2. Расстояние, которое проехал второй поезд до встречи: $S_2 = v_2 t$. Это же расстояние первый поезд проехал после встречи: $S_2 = v_1 t_1$.

Получаем равенства:

$v_1 t = v_2 t_2$

$v_2 t = v_1 t_1$

Из этих уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

Из первого: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$

Из второго: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$

Приравнивая правые части этих выражений, получаем формулу для времени встречи $t$:

$\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1} \implies t^2 = t_1 \cdot t_2$

Теперь можем найти время до встречи, подставив числовые значения $t_1$ и $t_2$:

$t^2 = 2.4 \cdot 3.75 = \frac{24}{10} \cdot \frac{375}{100} = \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{12 \cdot 15}{5 \cdot 4} = 3 \cdot 3 = 9$

Отсюда $t = \sqrt{9} = 3$ ч.

Ответ: Встреча состоялась через 3 часа после начала движения.

Зная время до встречи, мы можем определить скорости каждого поезда. Для этого сначала найдем общее время, которое каждый поезд был в пути.

Полное время в пути для первого поезда (из C в D):

$T_1 = t + t_1 = 3 + 2.4 = 5.4$ ч.

Полное время в пути для второго поезда (из D в C):

$T_2 = t + t_2 = 3 + 3.75 = 6.75$ ч.

Теперь, зная общее расстояние $S = 270$ км и полное время в пути для каждого поезда, находим их скорости:

Скорость первого поезда:

$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{270 \text{ км}}{5.4 \text{ ч}} = \frac{2700}{54} = 50$ км/ч.

Скорость второго поезда:

$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{270 \text{ км}}{6.75 \text{ ч}} = \frac{27000}{675} = 40$ км/ч.

Ответ: Скорость первого поезда — 50 км/ч, скорость второго поезда — 40 км/ч.