Номер 146, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч.

1. Составление системы уравнений

Расстояние между станциями $S = 450$ км. Поезда отправились одновременно навстречу друг другу и встретились через $t_{встр} = 5$ ч.

Скорость сближения поездов равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

За время $t_{встр}$ они вместе преодолели все расстояние $S$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

$450 = (v_1 + v_2) \cdot 5$

$v_1 + v_2 = 450 / 5$

$v_1 + v_2 = 90$

Это наше первое уравнение.

Известно, что один из поездов потратил на весь путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой. Переведем это время в часы:

$\Delta t = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2.25 \text{ ч} = \frac{9}{4} \text{ ч}$

Время, которое потратил бы первый поезд на весь путь: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{450}{v_1}$.

Время, которое потратил бы второй поезд на весь путь: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{450}{v_2}$.

Предположим, что первый поезд медленнее, то есть $v_1 < v_2$. Тогда он потратит больше времени: $t_1 - t_2 = \Delta t$.

Получаем второе уравнение:

$\frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = \frac{9}{4}$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{450}{v_1} - \frac{450}{v_2} = \frac{9}{4} \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим $v_2$:

$v_2 = 90 - v_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{450}{v_1} - \frac{450}{90 - v_1} = \frac{9}{4}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 9:

$\frac{50}{v_1} - \frac{50}{90 - v_1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(90 - v_1)$:

$\frac{50(90 - v_1) - 50v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{4}$

$\frac{4500 - 50v_1 - 50v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{4500 - 100v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(4500 - 100v_1) = 1(90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_1^2 - 90v_1 - 400v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

$\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня.

Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Это решение является физически осмысленным.

Проверим, выполняется ли условие о разнице во времени.

Время первого поезда: $t_1 = 450/40 = 11.25$ ч.

Время второго поезда: $t_2 = 450/50 = 9$ ч.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 11.25 - 9 = 2.25$ ч, что равно 2 ч 15 мин. Условие выполняется.

Ответ: Скорость одного поезда 40 км/ч, а скорость другого поезда 50 км/ч.