Номер 139, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Из двух сёл $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 54 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе $C$, расстояние от которого до $A$ составляет $\frac{1}{3}$ расстояния между $A$ и $B$, причём первый велосипедист выехал из $B$ на 54 мин раньше, чем второй велосипедист выехал из $A$. Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого велосипедиста, который выехал из села B, а $v_2$ км/ч — скорость второго велосипедиста, который выехал из села A.

1. Анализ условия при одновременном выезде

Если бы велосипедисты выехали одновременно, они бы встретились через 2 часа. Двигаясь навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. За 2 часа они вместе преодолевают всё расстояние в 54 км. На основе этого составим первое уравнение:

$2 \cdot (v_1 + v_2) = 54$

Выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{54}{2}$

$v_1 + v_2 = 27 \quad (1)$

2. Анализ условия при разновременном выезде

Велосипедисты встретились в селе C. Расстояние от села A до села C составляет $\frac{1}{3}$ расстояния между A и B.

Расстояние, которое проехал второй велосипедист (из A до C):

$S_2 = \frac{1}{3} \cdot 54 = 18$ км.

Следовательно, расстояние, которое проехал первый велосипедист (из B до C):

$S_1 = 54 - 18 = 36$ км.

Первый велосипедист (из B) выехал на 54 минуты раньше второго. Переведем 54 минуты в часы:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}$.

Пусть $t_2$ — время в пути второго велосипедиста, а $t_1$ — время в пути первого. Тогда $t_1 = t_2 + 0.9$.

Время каждого велосипедиста можно выразить через расстояние и скорость: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{36}{v_1}$ и $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{v_2}$.

Подставим эти выражения в соотношение времен и получим второе уравнение:

$\frac{36}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \quad (2)$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \\ \frac{36}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$ через $v_2$:

$v_1 = 27 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{36}{27 - v_2} = \frac{18}{v_2} + 0.9$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $v_2(27 - v_2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$36v_2 = 18(27 - v_2) + 0.9v_2(27 - v_2)$

Раскроем скобки:

$36v_2 = 486 - 18v_2 + 24.3v_2 - 0.9v_2^2$

Приведем подобные слагаемые:

$36v_2 = 486 + 6.3v_2 - 0.9v_2^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.9v_2^2 + 36v_2 - 6.3v_2 - 486 = 0$

$0.9v_2^2 + 29.7v_2 - 486 = 0$

Умножим всё уравнение на 10, чтобы работать с целыми числами:

$9v_2^2 + 297v_2 - 4860 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$v_2^2 + 33v_2 - 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 1089 + 2160 = 3249$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$.

Теперь найдем возможные значения для $v_2$:

$v_{2,1} = \frac{-33 + 57}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$v_{2,2} = \frac{-33 - 57}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость второго велосипедиста (из A) равна $v_2 = 12$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста (из B), используя уравнение (1):

$v_1 = 27 - v_2 = 27 - 12 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста, выехавшего из B, равна 15 км/ч; скорость велосипедиста, выехавшего из A, равна 12 км/ч.