Номер 134, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Сколько решений в зависимости от значения $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = a - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y - x| = 3? \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ y = a - x \end{cases}$

Эту задачу можно решить геометрически. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 2$, задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Второе уравнение, $y = -x + a$ (или $x+y-a=0$), задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным -1. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси ординат.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой. Это число зависит от расстояния $d$ от центра окружности $(0,0)$ до прямой $x+y-a=0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0) = (0,0)$, а прямая $1 \cdot x + 1 \cdot y - a = 0$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом окружности $R=\sqrt{2}$:

• Если $d > R$, прямая и окружность не пересекаются, и система не имеет решений.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} > \sqrt{2} \implies |a| > 2$. Это соответствует $a < -2$ или $a > 2$.

• Если $d = R$, прямая касается окружности в одной точке, и система имеет одно решение.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies |a| = 2$. Это соответствует $a = -2$ или $a = 2$.

• Если $d < R$, прямая пересекает окружность в двух точках, и система имеет два решения.
  $\frac{|a|}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} \implies |a| < 2$. Это соответствует $-2 < a < 2$.

Ответ: при $|a| < 2$ система имеет два решения; при $|a| = 2$ — одно решение; при $|a| > 2$ — решений нет.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |y - x| = 3 \end{cases}$

Решим эту задачу также геометрическим методом. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = a^2$, задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$. Если $a=0$, окружность вырождается в точку $(0,0)$.

Второе уравнение, $|y - x| = 3$, равносильно совокупности двух уравнений:

$y - x = 3$ или $y - x = -3$.

Эти уравнения задают две параллельные прямые: $y = x+3$ и $y = x-3$.

Количество решений системы равно общему числу точек пересечения окружности с этими двумя прямыми.

Найдем расстояние $d$ от центра окружности $(0,0)$ до этих прямых. Прямые можно записать как $x - y + 3 = 0$ и $x - y - 3 = 0$. В силу симметрии, расстояние от начала координат до обеих прямых одинаково.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Теперь сравним радиус окружности $R=|a|$ с этим расстоянием $d$:

• Если $R < d$, окружность не пересекает ни одну из прямых, и система не имеет решений.
  $|a| < \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Если $R = d$, окружность касается каждой из прямых в одной точке. Таким образом, система имеет два решения.
  $|a| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

• Если $R > d$, окружность пересекает каждую из прямых в двух различных точках. В этом случае общее число решений равно четырем.
  $|a| > \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: при $|a| < \frac{3\sqrt{2}}{2}$ система не имеет решений; при $|a| = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ — два решения; при $|a| > \frac{3\sqrt{2}}{2}$ — четыре решения.