Номер 128, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\sqrt{x} \\ y = x + 1 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = -\sqrt{x}$, задает график, который является ветвью параболы, симметричной относительно оси Ox, расположенной в четвертой координатной четверти. Область определения этой функции: $x \ge 0$, а область значений: $y \le 0$.
Второе уравнение, $y = x + 1$, задает прямую линию с угловым коэффициентом 1 и пересечением оси Oy в точке (0, 1).
Для того чтобы графики пересекались, должны существовать значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям. Из первого уравнения следует, что $y \le 0$. Подставим это условие во второе уравнение: $x + 1 \le 0$, что означает $x \le -1$.
Однако, область определения первого уравнения — $x \ge 0$. Нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы условиям $x \ge 0$ и $x \le -1$. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

2)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x^2 - 1 \\ y = 1 - 4x^2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = 3x^2 - 1$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, -1).
Второе уравнение, $y = 1 - 4x^2$, задает параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке (0, 1).
Так как одна парабола открывается вверх, а другая — вниз, и их вершины находятся на оси Oy по разные стороны от начала координат, их графики обязательно пересекутся. Поскольку обе параболы симметричны относительно оси Oy, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси.
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:
$3x^2 - 1 = 1 - 4x^2$
$7x^2 = 2$
$x^2 = 2/7$
$x = \pm\sqrt{2/7}$
Два различных значения $x$ соответствуют двум точкам пересечения.
Ответ: 2 решения.

3)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 + 5 \end{cases} $.
Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R=5$.
Второе уравнение, $y = x^2 + 5$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, 5).
Вершина параболы (0, 5) лежит на окружности, так как $0^2 + 5^2 = 25$. Это одна точка пересечения.
Для любой другой точки на параболе ($x \neq 0$) ее ордината будет $y = x^2 + 5 > 5$.
В то же время, для любой точки на окружности максимальное значение ординаты равно 5.
Следовательно, других общих точек у графиков нет. Парабола касается окружности в своей вершине.
Ответ: 1 решение.

4)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} xy = -8 \\ y = 4 - 0.3x^2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = -8/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Второе уравнение, $y = 4 - 0.3x^2$, задает параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке (0, 4).
Проанализируем пересечение графиков. Ветвь параболы проходит через второй и четвертый квадранты.
В второй четверти ($x < 0, y > 0$): ветвь гиперболы всегда выше ветви параболы. Пересечений нет.
В четвертой четверти ($x > 0, y < 0$): ветвь параболы уходит в минус бесконечность быстрее, чем ветвь гиперболы, которая стремится к нулю. Следовательно, они должны пересечься. Так как обе кривые в этой четверти являются вогнутыми, они могут пересечься не более двух раз. Визуальный анализ и проверка значений показывают, что пересечение только одно.
Например, при $x=4$ парабола дает $y = 4 - 0.3(16) = -0.8$, а гипербола $y = -8/4 = -2$. Парабола выше. При $x=5$ парабола $y = 4 - 0.3(25) = -3.5$, а гипербола $y = -8/5 = -1.6$. Теперь гипербола выше. Значит, между $x=4$ и $x=5$ есть точка пересечения.
Ответ: 1 решение.

5)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + (y-2)^2 = 16 \\ y = 2x^2 - 2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $x^2 + (y-2)^2 = 16$, задает окружность с центром в точке (0, 2) и радиусом $R=4$. Самая нижняя точка окружности - (0, -2).
Второе уравнение, $y = 2x^2 - 2$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, -2).
Вершина параболы совпадает с нижней точкой окружности. Это означает, что в точке (0, -2) графики касаются, и это одна общая точка.
Поскольку ветви параболы уходят вверх и "входят" внутрь окружности, они должны пересечь ее еще в двух точках, симметричных относительно оси Oy.
Подставим $x^2 = (y+2)/2$ из второго уравнения в первое:
$(y+2)/2 + (y-2)^2 = 16 \implies 2y^2 - 7y - 22 = 0$.
Корни этого уравнения для $y$: $y_1 = -2$ (соответствует $x=0$) и $y_2 = 5.5$ (соответствует $x = \pm\sqrt{15}/2$).
Всего получается три точки пересечения.
Ответ: 3 решения.

6)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 + 4x - 1 \end{cases} $.
Первое уравнение, $|y| = -x$, определено при $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Его график состоит из двух лучей: $y = -x$ (в второй четверти) и $y = x$ (в третьей четверти), исходящих из начала координат.
Второе уравнение, $y = x^2 + 4x - 1$, задает параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2, -5)$.
Парабола пересекает ось Oy в точке (0, -1), которая находится "внутри" угла, образованного лучами. Так как ветви параболы направлены вверх, она пересечет каждый из лучей.
Найдем пересечение параболы с лучом $y=-x$ (при $x \le 0$):
$-x = x^2 + 4x - 1 \implies x^2 + 5x - 1 = 0$. Корень, удовлетворяющий $x \le 0$, это $x = (-5 - \sqrt{29})/2$. Это одна точка.
Найдем пересечение параболы с лучом $y=x$ (при $x \le 0$):
$x = x^2 + 4x - 1 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$. Корень, удовлетворяющий $x \le 0$, это $x = (-3 - \sqrt{13})/2$. Это вторая точка.
Всего получаем две точки пересечения.
Ответ: 2 решения.