Номер 133, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} 4x^2 - 3xy - y^2 = 14, \\ 2x^2 + xy - 3y^2 = 12. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90; \end{cases} $$

Первое уравнение $x^2 + xy - 12y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Разложим его на множители. Заметим, что если $y=0$, то из первого уравнения следует, что $x=0$. Однако пара $(0, 0)$ не является решением второго уравнения, так как $0 \neq 90$. Следовательно, $y \neq 0$.

Разделим первое уравнение на $y^2$:

$$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 + \frac{x}{y} - 12 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$$ t^2 + t - 12 = 0 $$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

1. $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$

2. $\frac{x}{y} = -4 \implies x = -4y$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x^2 - 3xy + y^2 = 90$:

$$ 2(3y)^2 - 3(3y)y + y^2 = 90 $$

$$ 2(9y^2) - 9y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 18y^2 - 9y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 10y^2 = 90 $$

$$ y^2 = 9 $$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 \cdot 3 = 9$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 3 \cdot (-3) = -9$.

Получили две пары решений: $(9, 3)$ и $(-9, -3)$.

Случай 2: $x = -4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $2x^2 - 3xy + y^2 = 90$:

$$ 2(-4y)^2 - 3(-4y)y + y^2 = 90 $$

$$ 2(16y^2) + 12y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 32y^2 + 12y^2 + y^2 = 90 $$

$$ 45y^2 = 90 $$

$$ y^2 = 2 $$

Отсюда $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.

Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -4\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -4(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

Получили еще две пары решений: $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(9, 3)$, $(-9, -3)$, $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x^2 - 3xy - y^2 = 14, \\ 2x^2 + xy - 3y^2 = 12. \end{cases} $$

Левые части уравнений являются однородными многочленами второй степени. Чтобы решить такую систему, можно избавиться от свободных членов, чтобы получить однородное уравнение. Умножим первое уравнение на 12, а второе на 14:

$$ 12(4x^2 - 3xy - y^2) = 12 \cdot 14 $$

$$ 14(2x^2 + xy - 3y^2) = 14 \cdot 12 $$

Правые части уравнений стали равны, следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$$ 12(4x^2 - 3xy - y^2) = 14(2x^2 + xy - 3y^2) $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ 6(4x^2 - 3xy - y^2) = 7(2x^2 + xy - 3y^2) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 24x^2 - 18xy - 6y^2 = 14x^2 + 7xy - 21y^2 $$

$$ (24-14)x^2 + (-18-7)xy + (-6+21)y^2 = 0 $$

$$ 10x^2 - 25xy + 15y^2 = 0 $$

Разделим уравнение на 5:

$$ 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 0 $$

Это однородное уравнение. Заметим, что $y \neq 0$ (иначе из исходной системы $4x^2=14$ и $2x^2=12$, что невозможно). Разделим уравнение на $y^2$:

$$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 3 = 0 $$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$$ 2t^2 - 5t + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$$ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4} $$

$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $t_2 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Получаем два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$.

Подставим $x=y$ в первое уравнение исходной системы:

$$ 4y^2 - 3y(y) - y^2 = 14 $$

$$ 4y^2 - 3y^2 - y^2 = 14 $$

$$ 0 = 14 $$

Получили неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $2x^2 + xy - 3y^2 = 12$:

$$ 2\left(\frac{3}{2}y\right)^2 + \left(\frac{3}{2}y\right)y - 3y^2 = 12 $$

$$ 2\left(\frac{9}{4}y^2\right) + \frac{3}{2}y^2 - 3y^2 = 12 $$

$$ \frac{9}{2}y^2 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{6}{2}y^2 = 12 $$

$$ \frac{6}{2}y^2 = 12 $$

$$ 3y^2 = 12 $$

$$ y^2 = 4 $$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$.