Номер 127, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 6, \\ x - y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 + 2x - 2, \\ y = 2 - x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y = 5, \\ x - y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y = x - 2; \end{cases}$

5) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\ x - y - 5 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = -8. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 6, \\ x - y = 5. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $y = 6/x$, задает гиперболу. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (-1, -6), (-2, -3).

Второе уравнение, $x - y = 5$, можно переписать в виде $y = x - 5$. Это уравнение задает прямую. Для её построения достаточно двух точек, например, (0, -5) и (5, 0).

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения гиперболы и прямой являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (6, 1) и (-1, -6).

Ответ: (6, 1), (-1, -6).

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 + 2x - 2, \\ y = 2 - x. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = x^2 + 2x - 2$, задает параболу, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$; $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$. Вершина находится в точке (-1, -3).

Второе уравнение, $y = 2 - x$, задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, 2) и (2, 0).

Построим параболу и прямую в одной системе координат. Точки их пересечения и будут решениями системы. Из графика видно, что это точки (1, 1) и (-4, 6).

Ответ: (1, 1), (-4, 6).

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 5, \\ x - y = 7. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y = 5$, можно переписать как $y = -x^2 + 5$. Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 5).

Второе уравнение, $x - y = 7$, можно переписать как $y = x - 7$. Это уравнение задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -7) и (7, 0).

Построим графики. Точки пересечения параболы и прямой являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (3, -4) и (-4, -11).

Ответ: (3, -4), (-4, -11).

4)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y = x - 2. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 10$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение, $y = x - 2$, задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -2) и (2, 0).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что это точки (3, 1) и (-1, -3).

Ответ: (3, 1), (-1, -3).

5)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\ x - y - 5 = 0. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13$, задает окружность с центром в точке (3, -1) и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение, $x - y - 5 = 0$, можно переписать как $y = x - 5$. Это уравнение задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -5) и (5, 0).

Построим окружность и прямую. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (1, -4) и (6, 1).

Ответ: (1, -4), (6, 1).

6)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = -8. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 20$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$.

Второе уравнение, $xy = -8$, можно переписать как $y = -8/x$. Это уравнение задает гиперболу. Её ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Для построения найдем несколько точек: (2, -4), (4, -2), (-2, 4), (-4, 2).

Построим окружность и гиперболу в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что графики пересекаются в четырех точках: (2, -4), (4, -2), (-2, 4) и (-4, 2).

Ответ: (2, -4), (4, -2), (-2, 4), (-4, 2).