Номер 142, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из села на станцию, расстояние до которой равно 12 км, вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Через 1 ч из села в этом же направлении вышел второй пешеход, который догнал первого, передал ему письмо и пошёл назад в село с той же скоростью. Первый пешеход пришёл на станцию, а второй вернулся в село одновременно. Найдите скорость второго пешехода.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, основываясь на условии, что оба пешехода закончили свои маршруты одновременно.

Пусть $v_1 = 3$ км/ч – скорость первого пешехода, $S = 12$ км – расстояние от села до станции, а $x$ км/ч – искомая скорость второго пешехода.

1. Найдем общее время, которое был в пути первый пешеход. Он прошел всё расстояние от села до станции с постоянной скоростью.
$T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{12 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

2. Теперь рассмотрим движение второго пешехода. Он вышел на 1 час позже. К моменту его выхода первый пешеход уже прошел расстояние $S_{фора} = v_1 \times 1 \text{ ч} = 3 \times 1 = 3$ км.

3. Найдем время, через которое второй пешеход догнал первого. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = x - v_1 = x - 3$ км/ч. Время до встречи (с момента выхода второго пешехода) равно:
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{3}{x - 3}$ часа.

4. За это время второй пешеход прошел расстояние $S_{встречи}$ от села:
$S_{встречи} = x \times t_{встречи} = x \times \frac{3}{x - 3} = \frac{3x}{x - 3}$ км.

5. После встречи второй пешеход сразу повернул назад и пошел в село с той же скоростью $x$. Время на обратный путь будет равно времени, которое он затратил, чтобы дойти до места встречи:
$t_{обратно} = \frac{S_{встречи}}{x} = \frac{\frac{3x}{x - 3}}{x} = \frac{3}{x - 3}$ часа.

6. Общее время, которое второй пешеход находился в движении, составляет $t_{встречи} + t_{обратно} = \frac{3}{x - 3} + \frac{3}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$ часа.

7. Так как второй пешеход вышел на 1 час позже, его общее время с момента старта первого пешехода равно:
$T_2 = 1 + \frac{6}{x - 3}$ часа.

8. По условию задачи, они закончили свои маршруты одновременно, значит $T_1 = T_2$. Составим и решим уравнение:
$4 = 1 + \frac{6}{x - 3}$
$3 = \frac{6}{x - 3}$
$3(x - 3) = 6$
$3x - 9 = 6$
$3x = 15$
$x = 5$

Таким образом, скорость второго пешехода составляет 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.