Номер 143, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Одновременно от одного причала в одном направлении отплыли плот со скоростью 3 км/ч и лодка со скоростью 24 км/ч. Через 3 ч от этого причала в том же направлении отправился катер. Найдите скорость катера, если он догнал лодку через 11 ч 40 мин после того, как догнал плот.

Для решения задачи введем переменные:

• $v_{п} = 3$ км/ч — скорость плота.
• $v_{л} = 24$ км/ч — скорость лодки.
• $v_{к} = x$ км/ч — искомая скорость катера.

Катер отправился через 3 часа после плота и лодки. За это время плот и лодка уже успели отплыть от причала.

1. Нахождение времени, через которое катер догонит плот

К моменту старта катера плот находился в пути 3 часа и проплыл расстояние:

$S_{п} = v_{п} \cdot t = 3 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 9 \text{ км}$

Катер догоняет плот. Скорость сближения катера и плота равна разности их скоростей:

$v_{сбл1} = v_{к} - v_{п} = (x - 3) \text{ км/ч}$

Время, которое потребовалось катеру, чтобы догнать плот (с момента своего старта), равно:

$t_1 = \frac{S_{п}}{v_{сбл1}} = \frac{9}{x - 3} \text{ ч}$

2. Нахождение времени, через которое катер догонит лодку

К моменту старта катера лодка также находилась в пути 3 часа и проплыла расстояние:

$S_{л} = v_{л} \cdot t = 24 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 72 \text{ км}$

Скорость сближения катера и лодки равна:

$v_{сбл2} = v_{к} - v_{л} = (x - 24) \text{ км/ч}$

Время, которое потребовалось катеру, чтобы догнать лодку (с момента своего старта), равно:

$t_2 = \frac{S_{л}}{v_{сбл2}} = \frac{72}{x - 24} \text{ ч}$

3. Составление и решение уравнения

По условию, катер догнал лодку через 11 ч 40 мин после того, как догнал плот. Это означает, что разница во времени между этими двумя событиями составляет 11 ч 40 мин. Переведем это время в часы:

$11 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 11 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 11 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{33+2}{3} \text{ ч} = \frac{35}{3} \text{ ч}$

Так как катер догоняет более быструю лодку позже, чем медленный плот, то $t_2 > t_1$. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{35}{3}$

$\frac{72}{x - 24} - \frac{9}{x - 3} = \frac{35}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{72(x - 3) - 9(x - 24)}{(x - 24)(x - 3)} = \frac{35}{3}$

$\frac{72x - 216 - 9x + 216}{(x^2 - 3x - 24x + 72)} = \frac{35}{3}$

$\frac{63x}{x^2 - 27x + 72} = \frac{35}{3}$

Разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{9x}{x^2 - 27x + 72} = \frac{5}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot 9x = 5 \cdot (x^2 - 27x + 72)$

$27x = 5x^2 - 135x + 360$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 135x - 27x + 360 = 0$

$5x^2 - 162x + 360 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-162)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 360 = 26244 - 7200 = 19044$

$\sqrt{D} = \sqrt{19044} = 138$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 + 138}{2 \cdot 5} = \frac{300}{10} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 - 138}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4$

4. Анализ полученных корней

Скорость катера $x$ должна быть больше скорости лодки (24 км/ч) и плота (3 км/ч), чтобы он мог их догнать.
Корень $x_2 = 2.4$ км/ч не удовлетворяет этому условию, так как $2.4 < 24$ и $2.4 < 3$. Этот корень является посторонним для физического смысла задачи.
Корень $x_1 = 30$ км/ч удовлетворяет условию ($30 > 24$). Следовательно, это и есть искомая скорость катера.

Ответ: 30 км/ч.