Номер 144, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. По окружности двигаются в одном направлении две точки. Одна из них выполняет полный оборот на 3 с дольше другой, а время между их последовательными встречами равно 6 с. За какое время каждая точка выполняет полный оборот?

Пусть $T_1$ и $T_2$ — время (в секундах), за которое первая и вторая точки соответственно выполняют полный оборот. Тогда их скорости (в оборотах в секунду) равны $\omega_1 = \frac{1}{T_1}$ и $\omega_2 = \frac{1}{T_2}$.

По условию, одна точка совершает оборот на 3 секунды дольше другой. Предположим, что первая точка быстрее, то есть ее время оборота меньше. Тогда $T_1 < T_2$, и мы можем записать первое уравнение:
$T_2 = T_1 + 3$

Точки движутся в одном направлении. Встреча происходит каждый раз, когда более быстрая точка обгоняет более медленную ровно на один круг. Время между встречами ($T_{встр}$) можно найти через относительную скорость. Относительная скорость сближения (или, в данном случае, обгона) равна разности их скоростей:
$\omega_{отн} = \omega_1 - \omega_2 = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}$

Время, за которое будет пройден один "относительный" оборот, и есть время между встречами. По условию, это время равно 6 секунд. Таким образом, получаем второе уравнение:
$T_{встр} = \frac{1}{\omega_{отн}} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}} = 6$

Из этого уравнения следует:
$\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{6}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
1) $T_2 = T_1 + 3$
2) $\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{6}$

Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:
$\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_1 + 3} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $T_1(T_1 + 3)$:
$\frac{(T_1 + 3) - T_1}{T_1(T_1 + 3)} = \frac{1}{6}$
$\frac{3}{T_1(T_1 + 3)} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$3 \cdot 6 = 1 \cdot T_1(T_1 + 3)$
$18 = T_1^2 + 3T_1$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$T_1^2 + 3T_1 - 18 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -18, а их сумма равна -3. Корни, удовлетворяющие этим условиям, — это -6 и 3. Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
$T_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}$
$T_{1,1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$
$T_{1,2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

Поскольку время ($T_1$) не может быть отрицательной величиной, корень $T_1 = -6$ не имеет физического смысла. Следовательно, время оборота для первой (быстрой) точки равно 3 секундам.

Теперь найдем время для второй точки, используя первое уравнение:
$T_2 = T_1 + 3 = 3 + 3 = 6$

Итак, время, за которое каждая точка выполняет полный оборот, составляет 3 с и 6 с.

Ответ: 3 с и 6 с.