Номер 148, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. От двух пристаней $C$ и $D$ отошли одновременно навстречу друг другу катер и лодка соответственно. Катер прибыл в $D$ через 3 ч 45 мин после встречи с лодкой, а лодка в $C$ — через 1 ч 40 мин после встречи. За какое время каждый из них проплывёт расстояние между $C$ и $D$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ – скорость катера;
• $v_л$ – скорость лодки;
• $S$ – расстояние между пристанями C и D;
• $t_{встречи}$ – время от начала движения до момента встречи.

Переведем время, данное в условии, в минуты для удобства расчетов:

• Время движения катера после встречи: $t_к = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 3 \cdot 60 + 45 = 225 \text{ мин}$.
• Время движения лодки после встречи: $t_л = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 1 \cdot 60 + 40 = 100 \text{ мин}$.

До момента встречи катер прошел расстояние $S_1 = v_к \cdot t_{встречи}$, а лодка прошла расстояние $S_2 = v_л \cdot t_{встречи}$.

После встречи катеру осталось пройти расстояние $S_2$, и он прошел его за $t_к = 225$ минут. Таким образом, $S_2 = v_к \cdot t_к = v_к \cdot 225$.

Лодке после встречи осталось пройти расстояние $S_1$, и она прошла его за $t_л = 100$ минут. Таким образом, $S_1 = v_л \cdot t_л = v_л \cdot 100$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$ в первые две формулы:

$v_л \cdot 100 = v_к \cdot t_{встречи}$

$v_к \cdot 225 = v_л \cdot t_{встречи}$

Выразим отношение скоростей $\frac{v_к}{v_л}$ из каждого уравнения:

Из первого уравнения: $\frac{v_к}{v_л} = \frac{100}{t_{встречи}}$

Из второго уравнения: $\frac{v_к}{v_л} = \frac{t_{встречи}}{225}$

Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{100}{t_{встречи}} = \frac{t_{встречи}}{225}$

Отсюда найдем $t_{встречи}$:

$t_{встречи}^2 = 100 \cdot 225 = 22500$

$t_{встречи} = \sqrt{22500} = 150 \text{ мин}$.

Теперь мы можем найти общее время, которое требуется катеру и лодке, чтобы проплыть всё расстояние между C и D.

Общее время для катера ($T_к$) равно времени до встречи плюс время после встречи:

$T_к = t_{встречи} + t_к = 150 \text{ мин} + 225 \text{ мин} = 375 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы и минуты: $375 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.

Общее время для лодки ($T_л$) равно времени до встречи плюс время после встречи:

$T_л = t_{встречи} + t_л = 150 \text{ мин} + 100 \text{ мин} = 250 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы и минуты: $250 \text{ мин} = 4 \text{ ч } 10 \text{ мин}$.

Ответ: Катер проплывет расстояние между C и D за 6 часов 15 минут, а лодка – за 4 часа 10 минут.