Номер 154, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. Водно-солевой раствор содержал 3 кг соли, концентрация которой была меньше 20 %. К этому раствору добавили 6 кг соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть $M$ (кг) — первоначальная масса водно-солевого раствора.

Изначально в растворе содержалось 3 кг соли. Следовательно, первоначальная концентрация соли $C_1$ в растворе составляет:

$C_1 = \frac{3}{M}$

По условию задачи, эта концентрация была меньше 20%, то есть:

$C_1 < 0.2 \implies \frac{3}{M} < 0.2 \implies 3 < 0.2M \implies M > \frac{3}{0.2} \implies M > 15$ кг.

К этому раствору добавили 6 кг соли. Масса соли в новом растворе стала $3 + 6 = 9$ кг, а масса самого раствора стала $M + 6$ кг.

Новая концентрация соли $C_2$ в растворе равна:

$C_2 = \frac{9}{M+6}$

По условию, концентрация соли увеличилась на 15%, что означает, что новая концентрация стала на 0.15 больше первоначальной:

$C_2 = C_1 + 0.15$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\frac{9}{M+6} = \frac{3}{M} + 0.15$

Для решения этого уравнения приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю и преобразуем уравнение. Умножим обе части уравнения на $20M(M+6)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $M \neq 0$ и $M \neq -6$, что выполняется, так как масса не может быть отрицательной или нулевой):

$\frac{9}{M+6} = \frac{3}{M} + \frac{15}{100} = \frac{3}{M} + \frac{3}{20}$

$\frac{9}{M+6} = \frac{3 \cdot 20 + 3 \cdot M}{20M}$

$\frac{9}{M+6} = \frac{60+3M}{20M}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$9 \cdot 20M = (M+6)(60+3M)$

$180M = 60M + 3M^2 + 360 + 18M$

$180M = 3M^2 + 78M + 360$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3M^2 + 78M - 180M + 360 = 0$

$3M^2 - 102M + 360 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$M^2 - 34M + 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:

$M_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{34+26}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$M_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{34-26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

У нас есть два возможных решения для первоначальной массы раствора: 30 кг и 4 кг. Теперь необходимо проверить их на соответствие условию, что первоначальная концентрация была меньше 20% ($M > 15$ кг).

1. Если $M = 30$ кг, то первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{30} = 0.1$, что равно 10%. Это значение меньше 20%, значит, корень $M=30$ подходит.

2. Если $M = 4$ кг, то первоначальная концентрация $C_1 = \frac{3}{4} = 0.75$, что равно 75%. Это значение больше 20%, следовательно, корень $M=4$ не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственным верным решением является $M=30$ кг.

Ответ: 30 кг.