Номер 153, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500 000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год процентная ставка была уменьшена на 2 %. В конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Обозначим искомый процент годовых в первый год как $p$. Тогда процентный множитель в первый год равен $(1 + \frac{p}{100})$.

Сумма кредита составляет 500 000 рублей. Через год сумма долга с учетом начисленных процентов составит:
$S_1 = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

На второй год процентная ставка была уменьшена на 2 %, то есть стала равна $(p - 2)\%$. Процентный множитель для второго года будет $(1 + \frac{p-2}{100})$. Проценты за второй год начисляются на сумму долга в конце первого года ($S_1$).

Следовательно, итоговая сумма долга в конце второго года составит:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p-2}{100}) = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$

По условию задачи, в конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 рублей. Составим уравнение:
$708000 = 500000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$

Разделим обе части уравнения на 500 000:
$\frac{708000}{500000} = (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p-2}{100})$
$1,416 = (\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{100+p-2}{100})$
$1,416 = \frac{(100+p)(98+p)}{10000}$

Умножим обе части на 10000 и раскроем скобки:
$14160 = (100+p)(98+p)$
$14160 = 9800 + 100p + 98p + p^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ap^2+bp+c=0$:
$p^2 + 198p + 9800 - 14160 = 0$
$p^2 + 198p - 4360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 198^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4360) = 39204 + 17440 = 56644$
$\sqrt{D} = \sqrt{56644} = 238$

Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-198 + 238}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-198 - 238}{2} = \frac{-436}{2} = -218$

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, корень $p_2 = -218$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, процентная ставка в первый год составляла 20%.

Ответ: 20%.