Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В коробке лежат 2 зелёных и 7 синих шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди них окажется хотя бы один зелёный, была равной 1?

Чтобы найти наименьшее количество шаров, которое нужно вынуть для гарантированного получения хотя бы одного зелёного, необходимо рассмотреть самый неблагоприятный (худший) сценарий.

Вероятность, равная 1, означает, что событие должно произойти наверняка, то есть мы должны быть полностью уверены, что среди вынутых шаров будет хотя бы один зелёный.

В коробке находятся:

• 2 зелёных шара
• 7 синих шаров

Наихудший сценарий заключается в том, что мы будем вынимать шары "не того" цвета, то есть синие, как можно дольше.

В коробке 7 синих шаров. Предположим, мы вынимаем шары, и нам попадаются только синие. Мы можем вынуть 1 синий шар, потом 2, и так далее, вплоть до 7 синих шаров. Если мы вынем 7 шаров, и все они окажутся синими, то зелёного шара среди них всё ещё не будет.

Однако после того, как мы вынем все 7 синих шаров, в коробке останутся только зелёные шары. Это означает, что следующий шар, который мы вынем, обязательно будет зелёным.

Таким образом, чтобы гарантированно вынуть хотя бы один зелёный шар, нужно вынуть все синие шары плюс ещё один.

Количество шаров, которое нужно вынуть, равно: $7 \text{ (все синие)} + 1 \text{ (один зелёный)} = 8$

Если вынуть 8 шаров, то в худшем случае это будут 7 синих и 1 зелёный. В любом случае, среди 8 шаров обязательно окажется хотя бы один зелёный.

Ответ: 8

171. В коробке лежат синие и зелёные шары. Сколько синих шаров в коробке, если вероятность вынуть из неё на-угад синий шар равна $\frac{2}{7}$, а зелёных шаров в коробке 40?

Пусть $С$ – это количество синих шаров, а $З$ – количество зелёных шаров в коробке. Общее количество шаров в коробке обозначим как $N$.

$N = С + З$

Вероятность события (в данном случае, вынуть шар определённого цвета) вычисляется по формуле:

$P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}}$

Вероятность вынуть синий шар $P(С)$ равна $\frac{2}{7}$. $P(С) = \frac{С}{N} = \frac{2}{7}$

Поскольку в коробке находятся только синие и зелёные шары, то сумма их вероятностей равна 1:

$P(С) + P(З) = 1$

Отсюда мы можем найти вероятность вынуть зелёный шар $P(З)$:

$P(З) = 1 - P(С) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

С другой стороны, вероятность вынуть зелёный шар равна отношению количества зелёных шаров к общему количеству шаров:

$P(З) = \frac{З}{N}$

Из условия задачи известно, что количество зелёных шаров $З = 40$. Подставим известные значения в формулу:

$\frac{40}{N} = \frac{5}{7}$

Теперь мы можем найти общее количество шаров $N$, решив эту пропорцию:

$5 \cdot N = 40 \cdot 7$

$5N = 280$

$N = \frac{280}{5}$

$N = 56$

Итак, всего в коробке 56 шаров.

Чтобы найти количество синих шаров $С$, нужно из общего количества шаров $N$ вычесть количество зелёных шаров $З$:

$С = N - З = 56 - 40 = 16$

Ответ: 16

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что произведение номеров двух наугад выбранных карточек будет не больше числа 6?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. Это количество способов выбрать 2 карточки из 4 имеющихся. Поскольку порядок выбора карточек не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=4$ (всего карточек) и $k=2$ (выбираем карточек).

Общее число исходов: $n = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Всего существует 6 уникальных пар карточек, которые можно выбрать: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4).

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятным считается исход, при котором произведение номеров на двух выбранных карточках будет не больше 6 (то есть $\le 6$). Проверим каждую из 6 возможных пар:

• Пара (1, 2): произведение $1 \cdot 2 = 2$. $2 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (1, 3): произведение $1 \cdot 3 = 3$. $3 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (1, 4): произведение $1 \cdot 4 = 4$. $4 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (2, 3): произведение $2 \cdot 3 = 6$. $6 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (2, 4): произведение $2 \cdot 4 = 8$. $8 > 6$, исход неблагоприятный.
• Пара (3, 4): произведение $3 \cdot 4 = 12$. $12 > 6$, исход неблагоприятный.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 4$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

173. В выборке из 25 чисел число 9 встречается 12 раз, число 8 встречается 9 раз и число 15 встречается 4 раза. Найдите среднее значение этой выборки.

Чтобы найти среднее значение выборки, нужно вычислить сумму всех чисел в этой выборке и разделить её на общее количество чисел.

Дано:

• Общее количество чисел в выборке: 25.
• Число 9 встречается 12 раз.
• Число 8 встречается 9 раз.
• Число 15 встречается 4 раза.

Сначала проверим, что общее количество элементов совпадает: $12 + 9 + 4 = 25$. Данные верны.

1. Вычислим сумму всех чисел в выборке. Для этого умножим каждое число на частоту его появления и сложим полученные произведения:

Сумма = $(9 \cdot 12) + (8 \cdot 9) + (15 \cdot 4)$

Сумма = $108 + 72 + 60 = 240$

2. Теперь разделим полученную сумму на общее количество чисел в выборке, чтобы найти среднее значение:

Среднее значение = $\frac{\text{Сумма всех чисел}}{\text{Количество чисел}} = \frac{240}{25}$

$\frac{240}{25} = 9,6$

Ответ: 9,6.

174. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах со-вокупности данных:

1) 3,1; 3,4; 4,2; 4,7; 5,3; 5,3; 5,5;

2) 5, 11, 14, 14, 17, 19, 19, 26, 29, 38.

1) Для совокупности данных: 3,1; 3,4; 4,2; 4,7; 5,3; 5,3; 5,5.

Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию. В данном случае он уже упорядочен:

3,1; 3,4; 4,2; 4,7; 5,3; 5,3; 5,5.

Количество элементов в наборе $n = 7$.

• Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.

  $\text{Среднее значение} = \frac{3,1 + 3,4 + 4,2 + 4,7 + 5,3 + 5,3 + 5,5}{7} = \frac{31,5}{7} = 4,5$.

• Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего.

  В данном ряду число 5,3 встречается дважды, в то время как все остальные числа — по одному разу. Следовательно, мода равна 5,3.

• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных.

  Так как в наборе нечетное количество элементов (n=7), медиана — это число, стоящее ровно посередине. Порядковый номер медианы равен $\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4$. Четвертое число в ряду — 4,7.

• Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных.

  $\text{Размах} = 5,5 - 3,1 = 2,4$.

Ответ: среднее значение — 4,5; мода — 5,3; медиана — 4,7; размах — 2,4.

2) Для совокупности данных: 5, 11, 14, 14, 17, 19, 19, 26, 29, 38.

Ряд данных уже упорядочен по возрастанию:

5, 11, 14, 14, 17, 19, 19, 26, 29, 38.

Количество элементов в наборе $n = 10$.

• Среднее значение — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.

  $\text{Среднее значение} = \frac{5 + 11 + 14 + 14 + 17 + 19 + 19 + 26 + 29 + 38}{10} = \frac{192}{10} = 19,2$.

• Мода — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего.

  В данном ряду числа 14 и 19 встречаются по два раза, что чаще, чем остальные числа. Таким образом, у этого набора две моды: 14 и 19.

• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных.

  Так как в наборе четное количество элементов (n=10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Это числа на 5-м ($\frac{n}{2}$) и 6-м ($\frac{n}{2}+1$) местах, то есть 17 и 19.

  $\text{Медиана} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

• Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных.

  $\text{Размах} = 38 - 5 = 33$.

Ответ: среднее значение — 19,2; мода — 14 и 19; медиана — 18; размах — 33.

175. В таблице приведено распределение рабочих одного цеха некоторого завода по количеству изготовленных за смену деталей.

Найдите:

1) моду полученных данных;

2) относительную частоту, соответствующую изготовлению 15 деталей.

1) моду полученных данных;

Мода статистического ряда данных – это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. В данном случае мы ищем количество деталей, которое было изготовлено наибольшим количеством рабочих.

Из второй строки таблицы ("Количество рабочих") мы видим следующие частоты: 5, 2, 6, 6, 8, 9, 6, 4, 4.

Наибольшая частота здесь – 9. Теперь посмотрим, какому количеству деталей соответствует эта частота. В первой строке таблицы над числом 9 стоит число 13.

Таким образом, 13 деталей изготовило наибольшее количество рабочих.

Ответ: 13.

2) относительную частоту, соответствующую изготовлению 15 деталей.

Относительная частота события вычисляется как отношение частоты этого события к общему числу наблюдений (общему объему выборки). Формула относительной частоты: $W = \frac{m}{n}$, где $m$ – частота события, а $n$ – общее число наблюдений.

Сначала найдем общее количество рабочих в цехе ($n$), сложив все значения из второй строки таблицы:

$n = 5 + 2 + 6 + 6 + 8 + 9 + 6 + 4 + 4 = 50$ (рабочих).

Теперь найдем частоту события "изготовление 15 деталей" ($m$). Из таблицы видно, что 15 деталей изготовили 4 рабочих. Следовательно, $m = 4$.

Теперь мы можем рассчитать относительную частоту:

$W = \frac{m}{n} = \frac{4}{50} = 0,08$

Относительную частоту также можно выразить в процентах: $0,08 \cdot 100\% = 8\%$.

Ответ: 0,08.

176. Опросив 30 жителей города о количестве комнат в их квартирах, получили ряд данных: 1 комната, 3 комнаты, 4 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 3 комнаты, 1 комната, 3 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 4 комнаты, 3 комнаты, 3 комнаты, 2 комнаты, 4 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 1 комната, 1 комната, 2 комнаты, 3 комнаты, 2 комнаты, 2 комнаты, 1 комната, 1 комната, 2 комнаты, 2 комнаты. Составьте частотную таблицу и постройте соответствующую гистограмму.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два действия: сначала составить частотную таблицу на основе предоставленных данных, а затем построить гистограмму, отражающую эту таблицу.

Исходный ряд данных (количество комнат в 30 квартирах):

1, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2.

Чтобы составить частотную таблицу, нужно сгруппировать данные по количеству комнат и подсчитать, сколько раз каждое значение встречается в ряду. Это значение называется частотой.

• Количество квартир с 1 комнатой: 6
• Количество квартир с 2 комнатами: 15
• Количество квартир с 3 комнатами: 6
• Количество квартир с 4 комнатами: 3

Для проверки правильности подсчетов сложим все частоты. Общая сумма должна быть равна количеству опрошенных жителей, то есть 30.
$6 + 15 + 6 + 3 = 30$
Расчеты верны. Теперь занесем данные в таблицу.

Ответ:

Гистограмма — это графическое представление распределения данных с помощью столбцов. Для построения гистограммы по горизонтальной оси отложим значения признака (количество комнат), а по вертикальной оси — соответствующую им частоту (количество квартир). Высота каждого столбца будет пропорциональна частоте.

Ответ: