Номер 172, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что произведение номеров двух наугад выбранных карточек будет не больше числа 6?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. Это количество способов выбрать 2 карточки из 4 имеющихся. Поскольку порядок выбора карточек не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=4$ (всего карточек) и $k=2$ (выбираем карточек).

Общее число исходов: $n = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Всего существует 6 уникальных пар карточек, которые можно выбрать: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4).

Теперь найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятным считается исход, при котором произведение номеров на двух выбранных карточках будет не больше 6 (то есть $\le 6$). Проверим каждую из 6 возможных пар:

• Пара (1, 2): произведение $1 \cdot 2 = 2$. $2 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (1, 3): произведение $1 \cdot 3 = 3$. $3 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (1, 4): произведение $1 \cdot 4 = 4$. $4 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (2, 3): произведение $2 \cdot 3 = 6$. $6 \le 6$, значит, исход благоприятный.
• Пара (2, 4): произведение $2 \cdot 4 = 8$. $8 > 6$, исход неблагоприятный.
• Пара (3, 4): произведение $3 \cdot 4 = 12$. $12 > 6$, исход неблагоприятный.

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 4$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$