Номер 165, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Рассматриваются четырёхзначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 5 и по одному разу каждая из цифр 3 и 4. Сколько существует таких чисел?

Задача состоит в том, чтобы найти количество различных четырёхзначных чисел, которые можно составить из набора цифр {3, 4, 5, 5}. Так как в наборе нет нуля, любая перестановка этих цифр даст четырёхзначное число. Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Формула перестановок с повторениями
Мы имеем 4 цифры, из которых две одинаковые. Количество перестановок из $n$ элементов, среди которых есть группы одинаковых элементов размерами $n_1, n_2, \ldots, n_k$, вычисляется по формуле:
$P = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}$
В нашем случае общее количество цифр $n=4$. Цифра 3 встречается 1 раз ($n_1=1$), цифра 4 — 1 раз ($n_2=1$), а цифра 5 — 2 раза ($n_3=2$).
Подставляем значения в формулу:
Количество чисел = $\frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12$.

Способ 2: Комбинаторный подход
1. Сначала выберем места для двух одинаковых цифр 5. У нас есть 4 позиции в числе, и нам нужно выбрать 2 из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ способов.
2. После того, как мы разместили две пятёрки, у нас осталось 2 свободных места и 2 различные цифры (3 и 4). Количество способов расставить 2 различные цифры на 2 оставшихся места равно числу перестановок из 2 элементов:
$P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2$ способа.
3. Чтобы найти общее количество чисел, нужно перемножить количество способов для каждого независимого шага (согласно правилу произведения в комбинаторике):
$6 \times 2 = 12$.

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 12