Номер 164, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 3, 4, 5, 6, 7?

Для того чтобы пятизначное число было кратно пяти, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5. Из предложенного набора цифр {3, 4, 5, 6, 7} этому условию удовлетворяет только цифра 5. Следовательно, последняя цифра искомого числа должна быть 5.

Нам нужно составить пятизначное число, в котором все цифры различны. Это означает, что мы должны использовать каждую из пяти данных цифр ровно один раз. Мы имеем 5 позиций для цифр в числе.

1. Начнем с последней позиции (разряд единиц). Как мы установили, здесь может стоять только цифра 5. Таким образом, у нас есть 1 вариант для этой позиции.

_ _ _ _ 5

2. Теперь рассмотрим оставшиеся четыре позиции. Для их заполнения у нас остались цифры {3, 4, 6, 7}. Нам нужно расставить эти 4 различные цифры по 4 оставшимся местам. Количество способов это сделать равно числу перестановок из 4 элементов ($P_4$).

- На первую позицию можно поставить любую из 4 оставшихся цифр (4 варианта).

- На вторую позицию можно поставить любую из 3 оставшихся цифр (3 варианта).

- На третью позицию можно поставить любую из 2 оставшихся цифр (2 варианта).

- На четвертую позицию остается последняя цифра (1 вариант).

Общее количество способов расставить эти цифры равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4!$

Вычислим значение факториала:

$4! = 24$

Таким образом, существует 24 различных пятизначных числа, которые можно составить из данных цифр, чтобы они были кратны пяти и все их цифры были различны.

Ответ: 24