Номер 198, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = -4n + 5$; 4) $a_n = 7 - 0,8n$;

2) $a_n = 3n^2 - 2$; 5) $a_n = \frac{4}{n+1}$;

3) $a_n = -3,5n$; 6) $a_n = \frac{3n+1}{4}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$.

1) $a_n = -4n + 5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -4(n+1) + 5 = -4n - 4 + 5 = -4n + 1$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (-4n + 1) - (-4n + 5) = -4n + 1 + 4n - 5 = -4$.
Поскольку разность $d = -4$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = -4(1) + 5 = 1$.
Разность прогрессии: $d = -4$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = -4$.

2) $a_n = 3n^2 - 2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1)^2 - 2 = 3(n^2 + 2n + 1) - 2 = 3n^2 + 6n + 1$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (3n^2 + 6n + 1) - (3n^2 - 2) = 3n^2 + 6n + 1 - 3n^2 + 2 = 6n + 3$.
Поскольку разность $d = 6n + 3$ зависит от $n$, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -3,5n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -3,5(n+1) = -3,5n - 3,5$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (-3,5n - 3,5) - (-3,5n) = -3,5n - 3,5 + 3,5n = -3,5$.
Поскольку разность $d = -3,5$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = -3,5(1) = -3,5$.
Разность прогрессии: $d = -3,5$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -3,5$, разность $d = -3,5$.

4) $a_n = 7 - 0,8n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 7 - 0,8(n+1) = 7 - 0,8n - 0,8 = 6,2 - 0,8n$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = (6,2 - 0,8n) - (7 - 0,8n) = 6,2 - 0,8n - 7 + 0,8n = -0,8$.
Поскольку разность $d = -0,8$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = 7 - 0,8(1) = 6,2$.
Разность прогрессии: $d = -0,8$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 6,2$, разность $d = -0,8$.

5) $a_n = \frac{4}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{4}{(n+1)+1} = \frac{4}{n+2}$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+1} = \frac{4(n+1) - 4(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4n + 4 - 4n - 8}{(n+2)(n+1)} = \frac{-4}{(n+1)(n+2)}$.
Поскольку разность $d$ зависит от $n$, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{3n+1}{4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{3(n+1)+1}{4} = \frac{3n+3+1}{4} = \frac{3n+4}{4}$.
Теперь найдем разность: $d = a_{n+1} - a_n = \frac{3n+4}{4} - \frac{3n+1}{4} = \frac{(3n+4) - (3n+1)}{4} = \frac{3n+4-3n-1}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку разность $d = \frac{3}{4}$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии: $a_1 = \frac{3(1)+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Разность прогрессии: $d = \frac{3}{4}$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = \frac{3}{4}$.