Номер 199, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Из арифметической прогрессии исключили члены с чётными номерами. Будут ли оставшиеся члены образовывать арифметическую прогрессию?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена этой прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию задачи, из этой прогрессии исключили все члены с чётными номерами ($a_2, a_4, a_6, \dots$). Следовательно, в последовательности остались только члены с нечётными номерами: $a_1, a_3, a_5, \dots$.

Обозначим новую последовательность как $(b_k)$. Её члены будут равны членам исходной последовательности с нечётными номерами: $b_1 = a_1$, $b_2 = a_3$, $b_3 = a_5$, и так далее. В общем виде, k-й член новой последовательности $b_k$ будет равен (2k-1)-му члену исходной прогрессии: $b_k = a_{2k-1}$.

Чтобы доказать, что последовательность $(b_k)$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым последующим и предыдущим её членами постоянна. Найдем разность $b_{k+1} - b_k$.

Для этого выразим $b_k$ и $b_{k+1}$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена исходной прогрессии.

$b_k = a_{2k-1} = a_1 + ((2k-1) - 1)d = a_1 + (2k-2)d$.

$b_{k+1} = a_{2(k+1)-1} = a_{2k+1} = a_1 + ((2k+1) - 1)d = a_1 + 2kd$.

Теперь вычислим разность:

$b_{k+1} - b_k = (a_1 + 2kd) - (a_1 + (2k-2)d) = a_1 + 2kd - a_1 - 2kd + 2d = 2d$.

Разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности постоянна и равна $2d$. Это означает, что оставшиеся члены образуют новую арифметическую прогрессию. Её первый член совпадает с первым членом исходной прогрессии ($a_1$), а её разность ($d'$) в два раза больше разности исходной прогрессии ($d' = 2d$).

Ответ: Да, оставшиеся члены будут образовывать арифметическую прогрессию.