Номер 200, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. При каком значении $x$ значения выражений $4x + 5$, $7x - 1$ и $x^2 + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $4x + 5$, $7x - 1$ и $x^2 + 2$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, обозначим их $a_1$, $a_2$ и $a_3$ соответственно.

Основное свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних. Это можно записать в виде формулы: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, или, что то же самое, $2a_2 = a_1 + a_3$.

Подставим в это равенство наши выражения:
$2(7x - 1) = (4x + 5) + (x^2 + 2)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$14x - 2 = x^2 + 4x + 7$
Перенесем все члены уравнения в правую часть:
$0 = x^2 + 4x - 14x + 7 + 2$
$x^2 - 10x + 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, то есть $10$. Произведение корней равно свободному члену, то есть $9$. Подбором находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = 9$

Теперь, когда мы нашли возможные значения $x$, определим соответствующие им члены арифметической прогрессии.

При $x = 1$:
$a_1 = 4(1) + 5 = 9$
$a_2 = 7(1) - 1 = 6$
$a_3 = 1^2 + 2 = 3$
В этом случае члены прогрессии: 9, 6, 3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -3$.

При $x = 9$:
$a_1 = 4(9) + 5 = 36 + 5 = 41$
$a_2 = 7(9) - 1 = 63 - 1 = 62$
$a_3 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83$
В этом случае члены прогрессии: 41, 62, 83. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 21$.

Ответ: задача имеет два решения: при $x=1$ члены прогрессии равны 9, 6, 3; при $x=9$ члены прогрессии равны 41, 62, 83.