Номер 205, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $($$a_n$$)$, если:

1) $a_1 = 7, a_{11} = 27;$

2) $a_5 = 58, a_{15} = 16.$

Для решения задачи нам понадобится формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов. Также нам понадобится формула $n$-го члена прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

В обоих случаях нам нужно найти сумму двадцати первых членов, то есть $S_{20}$.

1) Дано: $a_1 = 7$, $a_{11} = 27$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$.

Используя формулу для $a_{11}$, получаем:

$a_{11} = a_1 + d(11-1) = a_1 + 10d$

Подставим известные значения $a_1$ и $a_{11}$:

$27 = 7 + 10d$

Решим уравнение относительно $d$:

$10d = 27 - 7$

$10d = 20$

$d = 2$

Теперь, когда мы знаем $a_1 = 7$ и $d = 2$, можем найти сумму первых 20 членов ($n=20$):

$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20$

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставляем значения $a_1$ и $d$:

$S_{20} = (2 \cdot 7 + 19 \cdot 2) \cdot 10$

$S_{20} = (14 + 38) \cdot 10$

$S_{20} = 52 \cdot 10 = 520$

Ответ: 520

2) Дано: $a_5 = 58$, $a_{15} = 16$.

В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Составим систему уравнений, используя формулу $n$-го члена:

$\begin{cases} a_5 = a_1 + d(5-1) \\ a_{15} = a_1 + d(15-1) \end{cases}$

Подставим известные значения:

$\begin{cases} 58 = a_1 + 4d \\ 16 = a_1 + 14d \end{cases}$

Для нахождения $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 4d) = 16 - 58$

$10d = -42$

$d = -4.2$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$58 = a_1 + 4(-4.2)$

$58 = a_1 - 16.8$

$a_1 = 58 + 16.8$

$a_1 = 74.8$

Теперь, когда мы знаем $a_1 = 74.8$ и $d = -4.2$, можем найти сумму первых 20 членов ($n=20$):

$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставляем найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_{20} = (2 \cdot 74.8 + 19 \cdot (-4.2)) \cdot 10$

$S_{20} = (149.6 - 79.8) \cdot 10$

$S_{20} = 69.8 \cdot 10 = 698$

Ответ: 698