Номер 208, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 5n^2 - 3n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$. Сумма ее первых $n$ членов вычисляется по формуле $S_n = 5n^2 - 3n$.

1. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Сумма одного первого члена прогрессии ($S_1$) равна самому первому члену ($a_1$). Чтобы найти $a_1$, подставим в данную формулу значение $n=1$:

$a_1 = S_1 = 5(1)^2 - 3(1) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 2$.

2. Нахождение разности прогрессии ($d$)

Чтобы найти разность прогрессии, нам нужно знать как минимум два последовательных члена. Найдем второй член прогрессии, $a_2$.

Сумма первых двух членов прогрессии $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Вычислим $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 5(2)^2 - 3(2) = 5 \cdot 4 - 6 = 20 - 6 = 14$.

Мы знаем, что $S_2 = a_1 + a_2$. Отсюда можем выразить $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1$.

Подставим известные значения $S_2=14$ и $a_1=2$:

$a_2 = 14 - 2 = 12$.

Теперь, зная первый и второй члены прогрессии, мы можем найти ее разность $d$ по формуле $d = a_2 - a_1$:

$d = 12 - 2 = 10$.

Итак, мы нашли первый член и разность прогрессии.

Проверка:

Общая формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим найденные нами значения $a_1 = 2$ и $d = 10$ в эту формулу:

$S_n = \frac{2(2) + 10(n-1)}{2} \cdot n = \frac{4 + 10n - 10}{2} \cdot n = \frac{10n - 6}{2} \cdot n = (5n - 3)n = 5n^2 - 3n$.

Полученная формула полностью совпадает с формулой, данной в условии задачи, что подтверждает правильность наших вычислений.

Ответ: первый член равен 2, разность равна 10.