Номер 215, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 570?

По условию задачи, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой заданы следующие параметры:

• Первый член прогрессии $a_1 = -4$
• Разность прогрессии $d = 6$
• Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n = 570$

Необходимо найти количество членов $n$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:

$570 = \frac{2 \cdot (-4) + 6 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $n$. Упростим выражение в числителе дроби:

$570 = \frac{-8 + 6n - 6}{2} \cdot n$

$570 = \frac{6n - 14}{2} \cdot n$

Разделим числитель на 2:

$570 = (3n - 7) \cdot n$

Раскроем скобки:

$570 = 3n^2 - 7n$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3n^2 - 7n - 570 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-570) = 49 + 12 \cdot 570 = 49 + 6840 = 6889$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{6889} = 83$

$n_1 = \frac{-(-7) + 83}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 83}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$n_2 = \frac{-(-7) - 83}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 83}{6} = \frac{-76}{6} = -\frac{38}{3}$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ по определению должно быть натуральным числом (целым и положительным), корень $n_2 = -\frac{38}{3}$ не является решением задачи.

Таким образом, единственным подходящим решением является $n = 15$.

Ответ: 15.