Номер 217, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с двенадцатого по двадцать девятый включительно, если $x_1 = 7$ и $x_{15} = 42$.

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии с двенадцатого по двадцать девятый, необходимо сначала найти разность прогрессии ($d$), затем вычислить двенадцатый ($x_{12}$) и двадцать девятый ($x_{29}$) члены прогрессии. После этого можно использовать формулу суммы членов арифметической прогрессии.

1. Найдем разность арифметической прогрессии ($d$).Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$. Нам даны $x_1 = 7$ и $x_{15} = 42$. Подставим эти значения в формулу для $n=15$:$x_{15} = x_1 + (15-1)d$$42 = 7 + 14d$$14d = 42 - 7$$14d = 35$$d = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2,5$

2. Теперь найдем $x_{12}$ и $x_{29}$, которые являются первым и последним членами искомой суммы.$x_{12} = x_1 + (12-1)d = 7 + 11 \cdot 2,5 = 7 + 27,5 = 34,5$$x_{29} = x_1 + (29-1)d = 7 + 28 \cdot 2,5 = 7 + 70 = 77$

3. Вычислим сумму членов прогрессии с двенадцатого по двадцать девятый. Количество членов в этой последовательности равно $n = 29 - 12 + 1 = 18$. Формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов. В нашем случае $a_1 = x_{12}$, $a_n = x_{29}$, а $n=18$.$S = \frac{x_{12} + x_{29}}{2} \cdot 18$$S = \frac{34,5 + 77}{2} \cdot 18 = \frac{111,5}{2} \cdot 18 = 111,5 \cdot 9 = 1003,5$

Ответ: 1003,5.