Номер 219, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Решите уравнение:

1) $9+17+25+\dots+(8n+1)=125$, где $n$ — натуральное число;

2) $3+7+11+\dots+x=136$, где $x$ — натуральное число.

1) $9 + 17 + 25 + ... + (8n + 1) = 125$, где $n$ — натуральное число

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Найдем первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член $a_1 = 9$.

Разность прогрессии $d = 17 - 9 = 8$.

Общий член этой прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d = 9 + (k-1)8 = 9 + 8k - 8 = 8k+1$.

Последний член в сумме равен $(8n+1)$. Сравнивая его с формулой общего члена $a_k = 8k+1$, видим, что $k=n$. Это означает, что в сумме ровно $n$ членов. Последний член прогрессии $a_n = 8n+1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:

$125 = \frac{9 + (8n + 1)}{2} \cdot n$

$125 = \frac{10 + 8n}{2} \cdot n$

$125 = (5 + 4n) \cdot n$

$125 = 5n + 4n^2$

Получили квадратное уравнение:

$4n^2 + 5n - 125 = 0$

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-125) = 25 + 16 \cdot 125 = 25 + 2000 = 2025$

$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 45}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 45}{2 \cdot 4} = \frac{-50}{8} = -6.25$

По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -6.25$ не подходит.

Следовательно, $n=5$.

Ответ: $n=5$.

2) $3 + 7 + 11 + ... + x = 136$, где $x$ — натуральное число.

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.

Найдем первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$.

Первый член $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Последний член прогрессии равен $x$. Обозначим его как $n$-й член $a_n = x$. Количество членов в сумме равно $n$.

Выразим $n$-й член через $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$x = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = 136$. Воспользуемся формулой суммы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения:

$136 = \frac{3 + x}{2} \cdot n$

Мы получили уравнение с двумя переменными, $x$ и $n$. Подставим выражение для $x$ через $n$ ($x = 4n - 1$) в это уравнение:

$136 = \frac{3 + (4n - 1)}{2} \cdot n$

$136 = \frac{2 + 4n}{2} \cdot n$

$136 = (1 + 2n) \cdot n$

$136 = n + 2n^2$

Получили квадратное уравнение:

$2n^2 + n - 136 = 0$

Решим его. Дискриминант $D$ равен:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-136) = 1 + 8 \cdot 136 = 1 + 1088 = 1089$

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 33}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 33}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$

Поскольку $n$ (количество членов) должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -8.5$ не подходит. Значит, в сумме 8 членов.

Теперь найдем $x$, которое является восьмым членом прогрессии ($a_8$):

$x = a_8 = 4n - 1 = 4 \cdot 8 - 1 = 32 - 1 = 31$.

Ответ: $x=31$.