Номер 225, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

225. Число 324 является членом геометрической прогрессии 4, 12, 36, ... . Найдите номер этого члена.

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 4$, второй член $b_2 = 12$, третий член $b_3 = 36$. Необходимо найти номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 324$.

1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии (q).
Знаменатель прогрессии — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Он вычисляется как отношение любого члена к предыдущему.
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3$.
Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{36}{12} = 3$.
Итак, знаменатель прогрессии $q=3$.

2. Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$,
где $b_n$ — искомый член, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — номер члена.

3. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение.
Мы знаем, что $b_n = 324$, $b_1 = 4$ и $q = 3$. Подставляем эти значения в формулу:
$324 = 4 \cdot 3^{n-1}$.
Чтобы найти $n$, решим это показательное уравнение. Разделим обе части на 4:
$\frac{324}{4} = 3^{n-1}$
$81 = 3^{n-1}$.
Теперь нам нужно представить число 81 в виде степени с основанием 3.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$3^4 = 3^{n-1}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$4 = n - 1$.
Отсюда находим $n$:
$n = 4 + 1$
$n = 5$.

Следовательно, число 324 является пятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: 5