Номер 227, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_6 = 4b_4$ и $b_2 + b_5 = 108$;

2) $b_3 + b_6 = 420$ и $b_4 - b_5 + b_6 = 315$.

1)

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи даны два уравнения:

1. $b_6 = 4b_4$

2. $b_2 + b_5 = 108$

Используем первое уравнение для нахождения знаменателя $q$. Выразим $b_6$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_1 \cdot q^{6-1} = 4 \cdot (b_1 \cdot q^{4-1})$

$b_1 \cdot q^5 = 4 b_1 q^3$

Поскольку из второго уравнения следует, что члены прогрессии не равны нулю, мы можем считать, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Сократим обе части уравнения на $b_1 q^3$:

$q^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $q = 2$ и $q = -2$.

Теперь используем второе уравнение $b_2 + b_5 = 108$ для нахождения $b_1$. Выразим $b_2$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:

$b_1 \cdot q^{2-1} + b_1 \cdot q^{5-1} = 108$

$b_1 q + b_1 q^4 = 108$

$b_1(q + q^4) = 108$

Рассмотрим два случая для найденных значений $q$.

Случай 1: $q = 2$

Подставим значение $q$ в уравнение:

$b_1(2 + 2^4) = 108$

$b_1(2 + 16) = 108$

$18 b_1 = 108$

$b_1 = \frac{108}{18} = 6$

Случай 2: $q = -2$

Подставим значение $q$ в уравнение:

$b_1(-2 + (-2)^4) = 108$

$b_1(-2 + 16) = 108$

$14 b_1 = 108$

$b_1 = \frac{108}{14} = \frac{54}{7}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = 6$, $q = 2$ или $b_1 = \frac{54}{7}$, $q = -2$.

2)

По условию задачи имеем систему из двух уравнений:

1. $b_3 + b_6 = 420$

2. $b_4 - b_5 + b_6 = 315$

Выразим все члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 q^2 + b_1 q^5 = 420 \implies b_1 q^2 (1 + q^3) = 420$

$b_1 q^3 - b_1 q^4 + b_1 q^5 = 315 \implies b_1 q^3 (1 - q + q^2) = 315$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Разделим второе уравнение на первое, предполагая, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$:

$\frac{b_1 q^3 (1 - q + q^2)}{b_1 q^2 (1 + q^3)} = \frac{315}{420}$

Сократим дробь в левой части на $b_1 q^2$. В знаменателе используем формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1+q)(1 - q + q^2)$:

$\frac{q (1 - q + q^2)}{(1+q)(1 - q + q^2)} = \frac{315}{420}$

Выражение $1 - q + q^2$ не равно нулю ни при каком действительном значении $q$, поэтому его можно сократить:

$\frac{q}{1+q} = \frac{315}{420}$

Сократим дробь в правой части. Наибольший общий делитель для 315 и 420 равен 105:

$\frac{315 \div 105}{420 \div 105} = \frac{3}{4}$

Получаем уравнение:

$\frac{q}{1+q} = \frac{3}{4}$

Используя свойство пропорции, находим $q$:

$4q = 3(1+q)$

$4q = 3 + 3q$

$q = 3$

Теперь найдем $b_1$, подставив $q=3$ в первое уравнение системы $b_1 q^2 (1 + q^3) = 420$:

$b_1 \cdot 3^2 (1 + 3^3) = 420$

$b_1 \cdot 9 (1 + 27) = 420$

$b_1 \cdot 9 \cdot 28 = 420$

$252 b_1 = 420$

$b_1 = \frac{420}{252}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 420 и 252 равен 84:

$b_1 = \frac{420 \div 84}{252 \div 84} = \frac{5}{3}$

Ответ: $b_1 = \frac{5}{3}$, $q = 3$.