Номер 232, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии $\frac{1}{54}$, $\frac{1}{18}$, $\frac{1}{6}$, ...

Дана геометрическая прогрессия, обозначим ее члены как $b_n$. Из условия задачи мы знаем первые три члена: $b_1 = \frac{1}{54}$, $b_2 = \frac{1}{18}$, $b_3 = \frac{1}{6}$.

Для нахождения суммы первых шести членов нам необходимо знать первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$.

1. Определение первого члена и знаменателя прогрессии.

Первый член нам уже известен: $b_1 = \frac{1}{54}$.

Знаменатель $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Найдем его, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/18}{1/54} = \frac{1}{18} \cdot \frac{54}{1} = \frac{54}{18} = 3$.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = 3$.

2. Расчет суммы шести первых членов.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае необходимо найти сумму шести первых членов, то есть $n=6$. Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{54}$, $q = 3$ и $n = 6$ в формулу:

$S_6 = \frac{\frac{1}{54}(3^6 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Теперь подставим это значение в наше выражение для $S_6$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{54}(729 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{54} \cdot 728}{2} = \frac{728}{54 \cdot 2} = \frac{728}{108}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4:

$S_6 = \frac{728 \div 4}{108 \div 4} = \frac{182}{27}$.

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$182 \div 27 = 6$ с остатком $20$ ($182 = 6 \cdot 27 + 20$).

Следовательно, $S_6 = 6\frac{20}{27}$.

Ответ: $6\frac{20}{27}$.