Номер 235, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $\frac{1}{3}$, а сумма пяти первых членов равна $\frac{40}{9}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$,

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам известны следующие величины:

• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{3}$
• Количество членов: $n = 5$
• Сумма первых пяти членов: $S_5 = \frac{40}{9}$

Нам необходимо найти первый член прогрессии $b_1$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{40}{9} = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$

Теперь выполним вычисления, чтобы найти $b_1$.

1. Вычислим знаменатель $1 - q$:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2. Вычислим $q^5$:

$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$

3. Вычислим выражение в скобках $1 - q^5$:

$1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$

4. Подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{40}{9} = \frac{b_1 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

5. Выразим $b_1$. Для этого сначала упростим правую часть:

$\frac{b_1 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = b_1 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$

6. Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{40}{9} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$

7. Найдём $b_1$:

$b_1 = \frac{40}{9} \div \frac{121}{81} = \frac{40}{9} \cdot \frac{81}{121}$

8. Сократим дробь и вычислим результат:

$b_1 = \frac{40 \cdot 81}{9 \cdot 121} = \frac{40 \cdot 9}{121} = \frac{360}{121}$

Ответ: $\frac{360}{121}$