Номер 237, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $b_n$ – n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ – её первый член, а $q$ – её знаменатель.

По условию задачи, сумма второго и третьего членов равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Запишем это в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} b_2 + b_3 = 30 \\ b_4 - b_2 = 90 \end{cases} $

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$ \begin{cases} b_1 q + b_1 q^2 = 30 \\ b_1 q^3 - b_1 q = 90 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1 q (1 + q) = 30 \\ b_1 q (q^2 - 1) = 90 \end{cases} $

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$, что следует из того, что правые части не равны нулю):

$\frac{b_1 q (q^2 - 1)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{90}{30}$

Сократим дробь в левой части, используя формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:

$\frac{(q - 1)(q + 1)}{1 + q} = 3$

$q - 1 = 3$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:

$q = 4$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 4$ в первое уравнение системы $b_1 q (1 + q) = 30$:

$b_1 \cdot 4 (1 + 4) = 30$

$b_1 \cdot 4 \cdot 5 = 30$

$20 b_1 = 30$

$b_1 = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1,5$

Нам нужно найти сумму пяти первых членов прогрессии, $S_5$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = 1,5$, $q = 4$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{1,5(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{1,5(1024 - 1)}{3} = \frac{1,5 \cdot 1023}{3} = 0,5 \cdot 1023 = 511,5$

Ответ: 511,5